공부해서 남주자

이번 포스팅에서는 응력 - 변형률 관계에 대해 알아보겠습니다. 3차원 응력 - 변형률 관계 육면체 요소가 존재한다고 가정했을 때, Hooke's law에 의하여 각 수직변형률, 전단변형률은 아래와 같이 쓸 수 있습니다. $$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E}-\nu\frac{\sigma_y}{E}-\nu\frac{\sigma_z}{E}$$ $$\epsilon_y = -\nu\frac{\sigma_x}{E}+\frac{\sigma_y}{E}-\nu\frac{\sigma_z}{E}$$ $$\epsilon_z = -\nu\frac{\sigma_x}{E}-\nu\frac{\sigma_y}{E}+\frac{\sigma_z}{E}$$ $$\gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{..

이번 포스팅에서는 방정식의 근을 찾는 방법 중 하나인 이분법(bisection method)에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) 이분법(bisection method) 이분법이란 근을 탐색하는 방법 중 하나로 탐색 구간을 항상 반으로 나눠 찾습니다. 구간을 반으로 나눠 찾는다는 점에서 이분법이라는 이름이 붙게 되었고, 구간의 양 끝점에서의 함수값을 계산하여 곱했을 때 부호가 양수이냐 음수이냐를 확인하여 근의 존재 유무를 판단합니다. 이분법(bisection method) 계산 방법 구간을 반으로 나눠 근의 존재 유무를 판단한다는 방법적인 면으로 인해 계산하는 방법은 매우 간단합니다. 1) 탐색 구간 $[x_l, x_u]$을..

이번 포스팅에서는 미분방정식을 푸는 방법 중 하나인 오일러(Euler)법에 대하여 알아봅시다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) 오일러(Euler)법 오일러법은 초기값과 $i$번째 1차 도함수의 기울기를 이용하여 $i+1$번째 함수값을 예측하기 위한 방법입니다. 식과 그림으로 나타내자면 아래와 같습니다. $$y_{i+1} = y_i +f(t_i,y_i)h$$ 식과 그래프를 보면 알 수 있다시피 시간격 h에 대하여 선형외삽하는 방법입니다. 오일러(Euler)법의 오차 분석 오차 분석을 위해 오일러법을 유도하기 위한 Taylor급수 전개를 살펴봅시다. $$y_{i+1}=y_i+y'_i h+\frac{y''_i}{2!}h^2+...+\frac{y^n..

이번 포스팅에서는 수치적분법 중 하나인 유한차분법에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) 유한차분법(Finite Difference Method) 유한차분법은 미분방정식을 도함수의 근사값을 사용하여 푸는 방법으로 유한차분방정식은 전방(forward), 후방(backward), 중앙(central) 차분법 등 세가지로 나눌 수 있으며, 각 식은 Taylor 급수 전개를 통해 유도 가능합니다. 유도(derivation) 과정 Taylor 급수 전개를 통해 각 유한차분방정식을 유도해 보겠습니다. 우선 아래 그림과 같은 형태를 가지는 함수 $f(x)$가 존재한다고 가정하고, 음과 양의 방향으로 $h$만큼 떨어진 거리의 함수값을 생각해..

이번 포스팅에서는 동흡진기(dynamic vibration absorber)에 대해 알아보겠습니다. 동흡진기(dynamic vibration absorber) 동흡진기, 줄여서 흡진기라고도 불리는 기계장치는 시스템의 원치않는 진동을 줄이거나 제거하는데에 사용되는 장치입니다. 진동으로부터 보호할 필요가 있는 시스템의 질량에 장착된 추가적인 질량과 강성으로 구성되는데요. 자유물체도로 표현하면 아래와 같습니다. 아래에서 위 그림으로 나타낸 시스템에 대하여 응답을 분석해보겠습니다. 비감쇠 동흡진기의 예 먼저 비감쇠의 경우에 대하여 시스템의 응답을 예를 통해 알아봅시다. 위 그림의 시스템에서의 운동방정식은 아래와 같습니다. $$m_1\ddot{x}_1 +k_1x_1+k_2(x_1-x_2)=F_0\sin\omega..

이번 포스팅에서는 조화력을 받는 감쇠계의 응답에 대해 알아보겠습니다. 조화력을 받는 감쇠계의 응답 조화력이 무엇인지는 비감쇠계의 응답 부분에서 설명하였으니 넘어가도록 하고, 바로 시스템의 응답에 대해 알아보겠습니다. 조화력 $F(t) = F_0\cos \omega t$가 가해질 때 질량 $m$의 감쇠계 운동방정식은 아래와 같습니다. $$m\ddot{x} + c\dot{x}+kx = F_0\cos \omega t \tag{1}$$ 식 (1)의 particular solution 또한 조화함수의 형태일 것이므로 해를 아래와 같이 가정합니다. $$x_p (t) = X\cos (\omega t-\phi) \tag{2}$$ 이 때 $X$와 $\phi$는 각각 응답의 진폭과 위상각을 나타냅니다. 가정된 해인 식 (..

이번 포스팅에서는 조화력을 받는 비감쇠계의 응답에 대해 알아보겠습니다. 조화운동(harmonic motion)이란? 조화력을 받는 계의 응답을 알아보기 전에 조화운동이 무엇인지부터 알아봅시다. 조화운동(harmonic motion)이란, 물체의 운동을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때 그 함수가 삼각함수(sin, cos)의 형태로 나타내어질 수 있을 때의 운동을 말합니다. 위와 유사하게 조화력은 아래와 같이 힘을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때 삼각함수의 형태로 표현할 수 있는 힘을 말합니다. 즉 아래와 같은 형태가 됩니다. $$F(t) = F_0 \cos \omega t$$ 조화력(harmonic force)을 받는 비감쇠계의 응답 조화력을 받는 비감쇠계에 대해 알아보겠습니다. 위에서 조화력에 대해 ..

이번 포스팅에서는 대수 감소율에 대해 알아보겠습니다. 대수 감소율(logarithmic decrement) 구하는 법 대수감소율은 감쇠 자유진동의 진폭이 감소하는 정도를 나타내는 값으로, 연속하는 두 진폭의 비에 자연로그를 취한 값으로 정의됩니다. 우리는 감쇠진동에 대한 응답 $x(t)=X_0 e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t+\phi_0)$를 알고 있기 때문에 $x_1, x_2$를 구할 수 있습니다. 이를 이용하여 진폭비를 구하면 $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{X_0 e^{-\zeta\omega_n t_1}\cos(\omega_d t_1 -\phi_0)}{X_0 e^{-\zeta\omega_n t_2}\cos(\omega_d t_2..

이번 포스팅에서는 스프링-질량계의 운동방정식과 그 응답에 대하여 알아봅시다. 비감쇠 스프링-질량계 비감쇠 스프링-질량계의 운동방정식은 아래와 같습니다. $$m\ddot{x}+kx=0 \tag{1}$$ 위 식의 해는 $$x(t) = Ce^{st} \tag{2}$$ 입니다. 미분방정식의 homogeneous solution을 구하는 방법은 아래에 설명하였으니 참고하세요. [공업수학]상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 제차해(Homogeneous solution) - (1) 이번 포스팅에서는 상미분방정식의 해 중 제차해(homogeneous solution)에 대해 설명드리겠습니다. 제차해(homogeneous solution) Homogeneous solution은 상미분..

이번 포스팅에서는 제어시스템의 안정도에 대해 알아보겠습니다. 안정도 조사법 '시스템이 안정하다'라는 말은, 시스템이 한정된 응답을 가질 때를 말합니다. 즉, 한정된 입력이 가해졌을 때 그 응답의 크기가 한정되는 상황을 말합니다. 선형시스템의 경우 시스템의 특성방정식의 근을 조사하여 시스템이 안정한지 불안정한지를 판단할 수 있습니다. 특성방정식을 이용한 안정도 판별법 아래와 같은 전달함수 $G(s)$에 대하여 생각해봅시다. $$G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{K(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)}$$ 위 전달함수의 특성방정식의 근 $p_i$ $(i=1,2,...,n)$이 시스템의 안정도를 결정합니다. 위 시스템에 단위스텝입력..