[기계진동] 스프링-질량계의 운동방정식과 응답

이번 포스팅에서는 스프링-질량계의 운동방정식과 그 응답에 대하여 알아봅시다.

 

 비감쇠 스프링-질량계

비감쇠 스프링-질량계의 운동방정식은 아래와 같습니다.

 

$$m\ddot{x}+kx=0 \tag{1}$$

 

위 식의 해는

 

$$x(t) = Ce^{st} \tag{2}$$

 

입니다. 미분방정식의 homogeneous solution을 구하는 방법은

 

아래에 설명하였으니 참고하세요.

[공업수학]상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 제차해(Homogeneous solution) - (1)

 

식 (2)를 식 (1)에 대입하면

 

$$C(ms^2+k)=0$$

$$ms^2+k=0$$

 

$$\therefore s=\pm(\sqrt{-k/m})^{1/2}=\pm i\omega_n$$

 

따라서 식 (1)의 일반해는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$$x(t)=C_1 e^{i\omega_n t}+C_2 e^{-i \omega_n t} \tag{3}$$

 

여기서 아래 euler equation을 통해

 

$$e^{\pm i\alpha t} = \cos \alpha t \pm i \sin \alpha t$$

 

식 (3)을 고쳐쓰면 아래와 같습니다.

 

$$x(t) = A_1 \cos \omega_n t + A_2 \sin \omega_n t$$

 

이 때, 변위 및 속도의 초기값이 각각 $x(t=0) = A_1 = x_0, \dot{x(t=0)}=\omega_n A_2 = \dot{x}_0$라 하면

 

식 (1)은 최종적으로 아래와 같습니다.

 

$$x(t) = x_0 \cos \omega_n t+\frac{\dot{x}_0}{\omega_n}\sin \omega_n t$$

 

 

 점성감쇠 스프링-질량계

점성감쇠 스프링-질량계에 대하여 운동방정식은

 

$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx = 0 \tag{1}$$

 

비감쇠의 경우와 유사하게 위 식의 특성방정식은

 

$$ms^2+cs+k=0$$

 

위 식의 두 근은 아래와 같습니다.

 

$$s_{1,2} = \frac{-c\pm\sqrt{c^2-4mk}}{2m}=-\frac{c}{2m}\pm\sqrt{(\frac{c}{2m})^2-\frac{k}{m}}$$

 

위 근을 대입하여 식(1)의 일반해를 구하면 아래와 같습니다.

 

$$x(t) = C_1 e^{s_1 t} + C_2 e^{s_2 t}$$

$$=C_1 e^{(-\frac{c}{2m}+\sqrt{(\frac{c}{2m})^2-\frac{k}{m}})t}+C_2 e^{(-\frac{c}{2m}-\sqrt{(\frac{c}{2m})^2-\frac{k}{m}})t} \tag{2}$$

 

위 식을 임계감쇠상수 $c_c$를 이용하여 식을 정리해봅시다.

 

$c_c$는 특성방정식 근의 근호 안을 0으로 만드는 감쇠상수 $c$값으로 정의됩니다. 즉,

 

$$(\frac{c_c}{2m})^2-\frac{k}{m}=0$$

 

따라서

 

$$c_c = 2m\sqrt{\frac{k}{m}}=2\sqrt{km}=2m\omega_n$$

 

그리고 이를 이용하여 감쇠비 $\zeta$를 정의합니다.

 

$$\zeta = c/c_c$$

 

이를 이용하여 식 (2)를 정리하면 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

 

$$=C_1 e^{(-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n t}+C_2 e^{(-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_n t} \tag{3}$$

 

계수 $C_1, C_2$는 특성방정식의 근의 종류에 따라 아래와 같이 다르게 계산되어

 

해의 형태가 달리 나타납니다.

 

1. 서로다른 두개의 근을 갖는지, (underdamped system)

 

$$\Rightarrow x(t) = e^{-\zeta \omega_n t} \left\{x_0 \cos \sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t + \frac{\dot{x}_0+\zeta\omega_n x_0}{\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n}\sin\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t \right\}$$

 

2. 중근을 갖는지, (critically damped system)

 

$$\Rightarrow x(t) = \left\{x_0+(\dot{x}_0+\omega_n x_0)t\right\}e^{-\omega_n t}$$

 

3. 허근을 갖는지, (overdamped system)

 

$$\Rightarrow x(t) = C_1 e^{\left\{-\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}\right\}\omega_n t} + C_2 e^{\left\{-\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}\right\}\omega_n t}$$

 

여기서 

 

$$C_1 = \frac{x_0 \omega_n (\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})+\dot{x}_0}{2\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}}$$

$$C_2 = \frac{-x_0 \omega_n (\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})-\dot{x}_0}{2\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}}$$

 

 

여기까지 비감쇠 & 감쇠 진동에 대한 운동방정식의 응답에 대해 알아보았습니다.