[기계진동] 대수 감소율(logarithmic decrement)

이번 포스팅에서는 대수 감소율에 대해 알아보겠습니다.

 

 대수 감소율(logarithmic decrement) 구하는 법

대수감소율은 감쇠 자유진동의 진폭이 감소하는 정도를 나타내는 값으로,

 

연속하는 두 진폭의 비에 자연로그를 취한 값으로 정의됩니다.

우리는 감쇠진동에 대한 응답 $x(t)=X_0 e^{-\zeta\omega_n t}\sin(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n t+\phi_0)$를 알고 있기 때문에

 

$x_1, x_2$를 구할 수 있습니다. 이를 이용하여 진폭비를 구하면

 

  $$\frac{x_1}{x_2}=\frac{X_0 e^{-\zeta\omega_n t_1}\cos(\omega_d t_1 -\phi_0)}{X_0 e^{-\zeta\omega_n t_2}\cos(\omega_d t_2 -\phi_0)} \tag{1}$$

 

이 때, $t_2 = t_1 + 2\pi/\omega_d$이기 때문에

 

$$\cos(\omega_d t_2 -\phi_0)=\cos(2\pi+\omega_d t_1 -\phi_0)=\cos(\omega_d t_1 -\phi_0)$$

 

따라서 식 (1)은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

 

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{e^{-\zeta\omega_n t_1}}{e^{-\zeta\omega_n(t_1+2\pi/\omega_d)}} \tag{2}$$

 

대수감소율 $delta$은 식 (2)에 자연로그를 취하여 구할 수 있습니다.

 

$$\delta = \ln{\frac{x_1}{x_2}}=\zeta\omega_n 2\pi/\omega_d=\zeta\omega_n \frac{2\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}\omega_n}=\frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}=frac{2\pi c}{\omega_d 2m} \tag{3}$$

 

$$\therefore \delta = \frac{2\pi c}{2m\omega_d}$$

 

감쇠가 작을 때$(\zeta << 1)$ 대수감소율 $delta$는 아래와 같이 근사할 수 있습니다.

 

$$\delta \simeq 2\pi\zeta$$

 

 

여기까지 대수감소율에 대해 알아보았습니다.