[기계진동] 등가스프링 상수 구하기

이번 포스팅에서는 등가스프링 상수 구하는 법에 대해 알아봅시다.

 

 등가스프링 상수 구하는 이유

진동에서 계의 고유진동수는 질량 $m$과 강성$k$에 의해 결정되는 것을

 

아래의 포스팅을 통해 이미 알아본 바 있습니다.

[기계진동] 공진(Resonance)과 고유진동수(Natural frequency)

강성을 알아야 계의 고유진동수를 계산할 수 있고,

 

계에는 강성 요소가 복잡하게 얽혀있을 수 있기 때문에

 

하나의 값인 등가스프링 상수($k$)을 구하는 것이 중요합니다.

 

 직렬스프링인 경우

직렬 스프링인 경우 등가스프링 상수는 아래와 같이 구합니다.

직렬스프링 연결 예시

 

우선 스프링에 가해지는 힘 $F$는 질량 $m$에 의한 자중으로 

 

두 스프링 모두 동일하게 작용합니다.

 

$F = mg = k_e  x_e = k_1  x_1 = k_2  x_2 \tag{1}$

그런데 여기서, $x_e = x_1 + x_2$ 입니다.

 

식 (1)을 변위에 대하여 각각 정리하면,

 

$x_e = \frac{F}{k_e}$

 

$x_1 = \frac{F}{k_1}$

 

$x_2 = \frac{F}{k_2}$

 

각각의 변위를 더하면 등가변위가 되므로 힘 $F$를 약분하여 나타내면,

 

$\frac{1}{k_e} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

 

→ $k_e = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

 

 병렬스프링인 경우

병렬스프링인 경우의 등가스프링 상수도 구해봅시다.

병렬스프링 연결 예시

병렬스프링인 경우, 스프링 $k_1$, $k_2$에 의해

 

질량 $m$이 지탱되고 있는 구조이므로,

 

각 스프링힘의 합력은 질량에 의한 자중과 같아야합니다.

 

즉,

 

$F = mg = k_e  x_e = k_1  x_1 + k_2  x_2$

 

그런데 이 경우 $x_e = x_1 = x_2 = x$입니다.

 

따라서,

 

$ k_e  x = k_1  x + k_2  x$

 

→ $ k_e = k_1 + k_2 $

 

 보에서의 스프링상수

등가스프링을 구하는 방법을 알았으니,

 

구조물에서 스프링상수 $k$를 계산하는 방법을 알아야겠죠?

 

다양한 형태의 보에서의 스프링상수를 아래에 나타내었습니다.

 

아래 3가지 형태의 보에 대해서만 외워두신다면,

 

등가스프링 구하는 공식에 의해 직렬이든, 병렬이든

 

복잡한 구조물에서도 등가스프링상수를 구할 수 있습니다!

 

이 외 구조물에 대해서는 아래 포스팅을 참고해주세요!

 

훅의 법칙에 의해 $F = kx$인 점 참고하시면 보에서의 스프링상수를

 

쉽게 구할 수 있습니다.

[재료역학] 보의 처짐각 & 처짐량 공식 유도

 

(1) 외팔보

 

$k_e = \frac{F}{\delta} = \frac{F}{\frac{Fl^3}{3EI}} = \frac{3EI}{l^3}$

외팔보

(2) 단순지지보

 

$k_e = \frac{F}{\delta} = \frac{F}{\frac{Fl^3}{48EI}} = \frac{48EI}{l^3}$

단순지지보

 

(3) 양단고정보

$k_e = \frac{F}{\delta} = \frac{F}{\frac{FI^3}{192EI}} = \frac{192EI}{l^3}$

양단고정보