공부해서 남주자

이번 포스팅에서는 방정식의 근을 찾는 방법 중 하나인 이분법(bisection method)에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) 이분법(bisection method) 이분법이란 근을 탐색하는 방법 중 하나로 탐색 구간을 항상 반으로 나눠 찾습니다. 구간을 반으로 나눠 찾는다는 점에서 이분법이라는 이름이 붙게 되었고, 구간의 양 끝점에서의 함수값을 계산하여 곱했을 때 부호가 양수이냐 음수이냐를 확인하여 근의 존재 유무를 판단합니다. 이분법(bisection method) 계산 방법 구간을 반으로 나눠 근의 존재 유무를 판단한다는 방법적인 면으로 인해 계산하는 방법은 매우 간단합니다. 1) 탐색 구간 $[x_l, x_u]$을..

이번 포스팅에서는 미분방정식을 푸는 방법 중 하나인 오일러(Euler)법에 대하여 알아봅시다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) 오일러(Euler)법 오일러법은 초기값과 $i$번째 1차 도함수의 기울기를 이용하여 $i+1$번째 함수값을 예측하기 위한 방법입니다. 식과 그림으로 나타내자면 아래와 같습니다. $$y_{i+1} = y_i +f(t_i,y_i)h$$ 식과 그래프를 보면 알 수 있다시피 시간격 h에 대하여 선형외삽하는 방법입니다. 오일러(Euler)법의 오차 분석 오차 분석을 위해 오일러법을 유도하기 위한 Taylor급수 전개를 살펴봅시다. $$y_{i+1}=y_i+y'_i h+\frac{y''_i}{2!}h^2+...+\frac{y^n..

이번 포스팅에서는 수치적분법 중 하나인 유한차분법에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) 유한차분법(Finite Difference Method) 유한차분법은 미분방정식을 도함수의 근사값을 사용하여 푸는 방법으로 유한차분방정식은 전방(forward), 후방(backward), 중앙(central) 차분법 등 세가지로 나눌 수 있으며, 각 식은 Taylor 급수 전개를 통해 유도 가능합니다. 유도(derivation) 과정 Taylor 급수 전개를 통해 각 유한차분방정식을 유도해 보겠습니다. 우선 아래 그림과 같은 형태를 가지는 함수 $f(x)$가 존재한다고 가정하고, 음과 양의 방향으로 $h$만큼 떨어진 거리의 함수값을 생각해..

이번 포스팅에서는 선형대수방정식을 푸는 반복법 중 하나인 가우스-자이델(Gauss-seidel)법에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) 가우스-자이델(Gauss-Seidel)법 가우스-자이델 기법은 선형대수방정식을 푸는 반복법 중의 하나로, 제법 보편적으로 사용되는 방법입니다. 이 방법은 해를 구하기 위해 미지수 $x$을 가정해야 하며, 이를 연립방정식을 구성하는 각각 다른 방정식에 대입시켜 해를 수렴시켜가는 방법입니다. 초기값은 흔히 0으로 많이 시작합니다. 아래와 같이 주어지는 방정식이 있다고 해보죠. $$[A]\left\{x\right\}=\left\{b\right\}$$ 만약 이 방정식이 3x3라면, 각 해를 구하기 ..

이번 포스팅에서는 선형대수방정식을 풀기 위한 방법 중 하나인 LU decomposition/factorization (LU 분해법)에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) LU decomposition/factorization (LU 분해법)이란? 앞에서 살짝 말씀드렸듯이 LU 분해법 또한 선형대수방정식의 해를 구하기 위한 방법 중 하나입니다. 이전 포스팅에서 선형대수방정식을 풀기 위한 다른 방법인 Gauss elimination을 알아보았는데요. 우선 선형대수방정식의 일반적인 형태는 아래와 같습니다. $$[A]\left\{x\right\}=\left\{b\right\} \tag{1}$$ Gauss elimination은 분명..

이번 포스팅에서는 선형대수방정식의 해를 구하는 방법 중 하나인 Gaussian elimination(가우스 소거법)에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) Gaussian elimination(가우스 소거법)이란? 가우스 소거법은 전진소거법을 통해 미지수를 소거하고, 후진대입하는 알고리즘으로써 선형대수방정식을 푸는데에 가장 기본이 되는 방법입니다. Gaussian elimination 하는 방법 예를 들어 아래와 같이 3개의 미지수와 3개의 방정식이 있다고 하면 $$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}$$ $$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}$$ $..

이번 포스팅에서는 선형대수방정식에서 각 해를 구할 때 유용한 방법인 Cramer's rule(크래머 공식)에 대해 알아봅시다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) Cramer's rule 이 방법은 연립 선형대수방정식에서 각 미지수를 행렬의 determinant와 각 계수, 상수항의 값으로 구성되는 식으로 표현하여 해를 구하는 방법입니다. 예를 들어 아래와 같은 미지수 3개, 식이 3개인 선형대수방정식이 있다고 가정하면 $$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}$$ $$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}$$ $$a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3..

이번 포스팅에서는 수치적분법 중 하나인 사다리꼴 공식에 대해 알아봅시다. 사다리꼴 공식 정의 사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 사다리꼴의 형태로 나누어 그 넓이의 합으로 적분값을 근사하는 방법입니다. 위 그림과 같이 임의의 함수 $f$에 대해 적분값을 붉은색 사다리꼴 넓이의 합으로 나타내죠. 그렇기 때문에 경우에 따라 오차가 매우 크게 나타날 수 있습니다. 정의는 아래와 같습니다. 적분 가능한 함수 $f$에 대하여 이에 대한 적분 $F$는 $F = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{(t_{i+1}-t_i)(f(t_{i+1})+f(t_i))}{2} \tag{1}$ 이 때, N=1인 경우 식은 아래와 같습니다. $F = \frac{(t_1-t_0)(f(t_1)+f(t_0))}{2} \tag{2}..

이번 포스팅에서는 수치 적분 기법 중 하나인 Newmark method(뉴마크 기법)에 대해 알아보도록 하겠습니다. Newmark method(뉴마크 기법) 개요 Newmark method는 대표적인 implicit method 중 하나인데요. Nathan Mortimore Newmark(1910 - 1981)라는 사람에 의해 1959년 발표된 논문에 소개된 적분법입니다. ("A method of computation for structural dynamics", Journal of the Engineering Mechanics Division, 85 (EM3): 67–94) implicit method란 현재와 미래 시간의 시스템의 상태로부터 미래 시간의 상태를 계산하는 방법입니다. 반대말은 expli..

이번 포스팅에서는 룽게-쿠타법에 대해 알아보도록 합시다. (부르기에 따라 런지-쿠타, 룽게-쿠타 등 여러 발음으로 불리기도 하나, 본 포스팅에서는 룽게-쿠타로 표기하겠습니다.) 룽게-쿠타법 (Runge-Kutta method) 룽게-쿠타법은 많은 수치적분법 중 한가지 방법입니다. 독일의 수학자 카를 다비트 톨메 룽게와 마르틴 빌헬름 쿠타가 개발하였고 흔히 4차항까지 구하여 사용하는 방법을 많이 쓰며, 이 방법은 RK4라고도 불립니다. 수치적분법 중 가장 흔히 사용되는 방법입니다. 식으로는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)h$$ 여기서 k는 아래와 같습니다. $k_1=f(t_i, y_i)$ $k_2=f(t_i+\frac{1}{..