공부해서 남주자

이번 포스팅에서는 평면에서의 운동방정식에 대하여 알아보고, 구속이 포함된 운동방정식을 이용하여 단진자 운동 해석을 해보겠습니다. 자코비안 행렬(jacobian matrix) 앞선 포스팅에서 우리는 기구의 구속식에 대해 알아보았습니다. 구속식은 기본적으로 body의 좌표로 이루어져있기 때문에, 초기값이 주어지면 해당 구속식을 풀어 기구의 상태를 확정할 수 있습니다. 운동방정식을 구성하기 위해서는 이 구속식을 미분하여 속도, 가속도를 구할 필요가 있는데요. 이 때 구속식을 각 좌표로 편미분하여 변화량을 구한 행렬을 자코비안 행렬(jacobian matrix)이라 합니다. 구속식이 존재하는 기구의 운동방정식을 구성하기 위해서는 이 자코비안 행렬이 필수적입니다. 예를 들어 Revolute joint의 자코비안을..

이번 포스팅에서는 평면에서의 기구학에 대해 다뤄보겠습니다. 본문의 내용은 참고문헌의 내용을 참고한 것임을 밝힙니다. 참고문헌: Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh 평면 기구학(Planar kinematics) 평면에 임의의 body $i$가 존재한다면, 해당 body의 운동을 기술하기 위해서는 3개의 좌표가 필요합니다. $x_i, y_i, \phi_i$가 그것입니다. $x_i, y_i$는 평면 상의 위치를 나타내고, $\phi_i$는 얼마나 기울어져 있는지에 대한 자세를 나타냅니다. 위 그림에서 벡터 $r_i^P$는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $$r_i^P = r_i+A_i s\prime_i^P \tag{1}$$ ..

이번 포스팅에서는 이전 포스팅에서 못다한 이야기를 해보겠습니다. 이전 포스팅을 확인하시려면 아래를 눌러주세요. [동역학] 오일러 파라미터(Euler parameters) - (1) 이번 포스팅에서는 오일러 파라미터에 대해 알아보겠습니다. (참고문헌: Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh) 오일러 파라미터(Euler parameters)란? 3차원 공간에서 구속되지.. study2give.tistory.com 오일러 파라미터를 활용하여 좌표변환행렬 구하기 이전 포스팅에서 아래와 같은 결과를 도출했었습니다. $$\overrightarrow{p}^T\overrightarrow{p}-1=0$$ 이 때, $\overrightarro..

이번 포스팅에서는 오일러 파라미터에 대해 알아보겠습니다. (참고문헌: Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh) 오일러 파라미터(Euler parameters)란? 3차원 공간에서 구속되지 않은 물체(unconstrained body)는 병진 3개 + 회전 3개, 총 6개의 좌표로 그 상태를 정의할 수 있습니다. 그리고 그 6개의 좌표는 global(x-y-z) 좌표계와 body-fixed($\xi-\eta-\zeta$) 좌표계의 관계로 정의할 수 있습니다. 이 때, 물체 위에 존재하는 모든 점은 body-fixed 좌표계에 놓여있기 때문에 global 좌표계를 기준으로도 정의할 수 있는데요. 이 관계를 설명하기 위한 수단이 ..

이번 포스팅에서는 기구학적 구속에 대해 알아보겠습니다. 기구학적 구속(kinematic constraint)과 구속식(constraint equation) 기구학적 구속이란 어떤 기구의 운동을 규정된 경계에 제한하거나 한정된 상태로 정의하는 것을 말하며, 이를 흔히 조인트(joint)라 부릅니다. 제한하는 자유도의 갯수에 따라 회전 조인트(revolute joint), 병진 조인트(translational joint) 등 부르는 형태도 다양합니다. 또한 기구학적 구속은 수식으로 나타낼 수 있는데요. 위 4절 기구를 예로 들면, 4절 기구의 꼭지점을 각각 경유하는 벡터 $\vec{O_2A}$, $\vec{AB}$, $\vec{BO_4}$, $\vec{O_4O_2}$의 합이 항상 0이면 각 꼭지점은 분리되지..

이번 포스팅에서는 운동량 보존의 법칙에 대해 알아보겠습니다. 운동량 보존의 법칙 외부에서 힘이 작용하지 않는 한 두 물체가 서로 힘을 주고 받을 때에는 그 두 물체의 운동량의 합은 일정합니다. 이를 운동량 보존의 법칙이라 합니다. 충격량과 운동량의 관계를 통해 운동량 보존의 법칙을 설명하겠습니다. 두 물체에 작용하는 충격량과 운동량의 관계는 아래와 같습니다. $$Ft = m(V_{2}-V_{1})$$ 물체 1의 경우 $Ft = m_{1}(V_{1}'-V_{1}) \tag{1}$ 물체 2의 경우 $F't = m_{2}(V_{2}'-V_{2}) \tag{2}$ 식 (1)과 (2)를 더하면 $$(F+F')t = m_{1}(V_{1}'-V_{1})+m_{2}(V_{2}'-V_{2})$$ 여기서 충돌 시 작용하는..

이번 포스팅에서는 회전 변환 행렬에 대해 알아봅시다. 회전 변환 행렬 (rotation matrix) 회전 변환 행렬이란, 좌표계에서 회전 변환을 할 때 사용하는 행렬을 말합니다. 2차원 직교좌표계에서 θ만큼 회전할 때, 변환 행렬은 아래와 같습니다. 유도 (derivation) 위 그림에서 점 P와 P'의 관계를 수식으로 나타낼 수 있다면 각 α에 대한 변환 행렬도 알아낼 수 있습니다. 먼저 점 P는 그리고 직선 OP와 점 x, y의 관계는 아래와 같습니다. 점 P'=(x', y')는 점 P를 +θ만큼 회전시킨 것이므로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 이 식을 삼각함수의 덧셈 정리를 이용하여 풀어봅시다. 따라서 위 식을 정리하면 아래와 같습니다. 3D에서의 회전 변환 행렬 3차원에서도 2차원에서와 유..

이번 포스팅에서는 오일러 각에 대해 알아보도록 합시다. 오일러 각(Euler angle) 오일러 각은 흔히 오일러 앵글이라고들 많이 부르는데, 3차원 공간에서 강체가 놓인 자세를 표현하기 위해 나타내는 3개의 각도입니다. 그리고 그 순서에 따라 x:1, y:2, z:3과 같이 숫자를 붙여서 오일러 313(z-x-z), 오일러 321(z-y-x) 좌표 등으로 부릅니다. 왜 쓸까? 2차원에서는 회전 자유도가 1개 뿐이기 때문에 강체가 회전할 때에 어느 방향으로 회전해도 한 개의 좌표 θ로 나타낼 수 있지만, 3차원에서는 이야기가 다릅니다. 그림 1과 같이 나란히 놓여있는 좌표계에서 각 축을 순서를 달리하여 회전시켜보죠. 1) x축을 회전축으로 하여 +90º, y축을 회전축으로 하여 +90º만큼 회전 2) y..

이번 포스팅에서는 달랑베르의 원리(d'Alembert's principle)에 대해 알아봅시다. 달랑베르의 원리(d'Alembert's principle) 달랑베르는 뉴턴의 운동방정식을 힘의 평형이라는 관점으로 다루었습니다. F=ma라는 운동방정식을 한 변으로 모두 모아서 평형을 이룬다고 생각한거죠. 즉, 외력과 관성력이 균형을 이룬다고 생각한 것입니다. 이 때 임의의 입자를 구속하는 힘(반작용력)은 어떨까요? 만약 평면 위에서 움직이는 입자가 있다고 했을 때, 어느 한 순간에 입자에 미세한 변위가 일어났다고 가정합시다. 입자는 항상 평면 위를 평행하게 움직이지만, 이를 구속하기 위한 힘은 입자에 항상 수직하게 작용합니다. 따라서 구속력은 입자의 운동방향에 수직이 되므로 입자의 운동에 대해선 전혀 일을 ..

이번 포스팅에서는 자유물체도(FBD, Free Body Diagram)에 대해 알아보겠습니다. 자유물체도(FBD, Free Body Diagram) 자유물체도란 상호 작용하고 있는 전체 system으로부터 관심 대상이 되는 부분만을 분리시켜 그린 그림을 말하며, 관심 대상이 역학적으로 어떤 상태에 놓여있는지를 분석하기 위해 그립니다. 예를 들어 양 끝에 사람이 앉아있는 시소의 경우 아래의 자유물체도로 나타낼 수 있습니다. 이 때, 사람들의 체중에 의해 시소의 중심에 작용하는 반력은 체중의 합이 되며, 만약 사람1과 사람2의 체중이 같다면 시소는 평형을 이루어 어느 쪽으로도 기울지 않습니다. (현실에선 있기 힘든 경우지만요.) 위 그림의 예와 같이, 복잡한 계(system)의 경우 자유물체도를 그려 힘이 ..