[동역학] 달랑베르의 원리(d'Alembert's principle)

이번 포스팅에서는 달랑베르의 원리(d'Alembert's principle)에 대해 알아봅시다.

 

 달랑베르의 원리(d'Alembert's principle)

달랑베르는 뉴턴의 운동방정식을 힘의 평형이라는 관점으로 다루었습니다.

 

F=ma라는 운동방정식을 한 변으로 모두 모아서 평형을 이룬다고 생각한거죠.

 

즉, 외력과 관성력이 균형을 이룬다고 생각한 것입니다.

 

이 때 임의의 입자를 구속하는 힘(반작용력)은 어떨까요?

 

만약 평면 위에서 움직이는 입자가 있다고 했을 때,

 

어느 한 순간에 입자에 미세한 변위가 일어났다고 가정합시다.

 

입자는 항상 평면 위를 평행하게 움직이지만,

 

이를 구속하기 위한 힘은 입자에 항상 수직하게 작용합니다.

 

따라서 구속력은 입자의 운동방향에 수직이 되므로

 

입자의 운동에 대해선 전혀 일을 해주지 않는 셈이 됩니다.

 

이 점에서 착안하여 수식화한 것이 달랑베르의 원리입니다.

 

 

 유도(Derivation)

본격적으로 유도하기 전 변수부터 정의하겠습니다.

먼저 N개의 입자로 이루어진 계의 운동방정식을 나타내면 아래 식 (1)와 같습니다.

식 (1)

여기에 가상변위로 내적을 취하여 모든 항을 모아주면 아래 식 (2)와 같이 나타납니다.

식 (2)

그런데 위에서 구속력이 입자에 한 일은 0이라고 했었죠?

 

즉,

식 (3)

따라서 정리하면, 달랑베르의 원리는 아래의 식으로 요약할 수 있습니다.

식 (4). 달랑베르의 원리

 요약(Summary)

요약하자면 관성력을 도입하여 동역학을 정역학과 마찬가지로

 

힘의 평형이라는 관점에서 다룰 수 있다는 것이 달랑베르의 원리이고,

 

더 간단히 말하자면 F=ma -> F-ma=0의 식으로 나타낼 수도 있겠네요.