[동역학] 회전 변환 행렬(2D & 3D)

이번 포스팅에서는 회전 변환 행렬에 대해 알아봅시다.

 

 회전 변환 행렬 (rotation matrix)

회전 변환 행렬이란,

 

좌표계에서 회전 변환을 할 때 사용하는 행렬을 말합니다.

 

2차원 직교좌표계에서 θ만큼 회전할 때, 변환 행렬은 아래와 같습니다.

 

 유도 (derivation)

출처 - 위키피디아(https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%9A%8C%EC%A0%84%EB%B3%80%ED%99%98%ED%96%89%EB%A0%AC)

위 그림에서 점 P와 P'의 관계를 수식으로 나타낼 수 있다면

 

각 α에 대한 변환 행렬도 알아낼 수 있습니다.

 

먼저 점 P는

그리고 직선 OP와 점 x, y의 관계는 아래와 같습니다.

 

점 P'=(x', y')는 점 P를 +θ만큼 회전시킨 것이므로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

이 식을 삼각함수의 덧셈 정리를 이용하여 풀어봅시다.

 

따라서 위 식을 정리하면 아래와 같습니다.

 3D에서의 회전 변환 행렬

3차원에서도 2차원에서와 유사한 회전 변환 행렬을 사용합니다.

 

다만 차원의 수가 늘어나 회전 축의 수가 1 -> 3개로 늘어난 만큼

 

각 축의 회전을 고려해주어야 합니다.

 

각 축 방향의 회전 변환 행렬은 아래와 같습니다.

 

하지만 3차원에서는 2차원에서와는 다르게 물체의 자세를 나타내기 위해

 

회전 순서가 중요한데요.

 

이에 대한 내용은 아래 포스팅을 통해 확인하실 수 있습니다.

[동역학] 오일러 각(Euler angle)