[동역학] 운동량 보존의 법칙

이번 포스팅에서는 운동량 보존의 법칙에 대해 알아보겠습니다.

 

 운동량 보존의 법칙

외부에서 힘이 작용하지 않는 한 두 물체가 서로 힘을 주고 받을 때에는

 

그 두 물체의 운동량의 합은 일정합니다. 이를 운동량 보존의 법칙이라 합니다.

 

충격량과 운동량의 관계를 통해 운동량 보존의 법칙을 설명하겠습니다.

 

두 물체에 작용하는 충격량과 운동량의 관계는 아래와 같습니다.

 

$$Ft = m(V_{2}-V_{1})$$

 

물체 1의 경우 $Ft = m_{1}(V_{1}'-V_{1}) \tag{1}$

 

물체 2의 경우 $F't = m_{2}(V_{2}'-V_{2}) \tag{2}$

 

식 (1)과 (2)를 더하면

 

$$(F+F')t = m_{1}(V_{1}'-V_{1})+m_{2}(V_{2}'-V_{2})$$

 

여기서 충돌 시 작용하는 힘 $F$와 $F'$는 작용-반작용 관계에 있으므로

 

$F+F' = 0$입니다. 따라서 위 식을 아래의 형태로 정리할 수 있습니다.

 

$$m_{1}V_{1}+m_{2}V_{2} = m_{1}V_{1}'+m_{2}V_{2}' \tag{3}$$

 

이 식이 바로 운동량 보존의 법칙을 설명하는 식입니다.

 

 

 충돌의 종류와 충돌 후 두 물체의 속도

충돌의 종류는 크게 3가지 종류가 있습니다.

 

또한 이는 반발계수(Coefficient of restitution, $e$)라는

 

충돌 후 회복의 정도를 나타내는 계수에 의해 정의할 수 있습니다.

 

- 완전 탄성충돌($e = 1$): 충돌 전/후의 전체 에너지가 보존됨

- 완전 비탄성충돌($e = 0$)

: 충돌 후 반발이 전혀 없어 한 덩어리가 되어 움직임(상대속도가 0).

 운동량은 보존되지만 운동에너지는 보존되지 않음

- 불완전 탄성충돌($0 < e < 1$): 운동량은 보존되지만 운동에너지는 보존되지 않음

 

여기서 반발계수 $e$는 아래와 같습니다

 

$$e = \frac{충돌 후 상대속도}{충돌 전 상대속도}=\frac{V_{2}'-V_{1}'}{V_{1}-V_{2}} \tag{4}$$

 

충돌 후 두 물체의 속도는 식 (3)과 (4)를 연립하여 구할 수 있습니다. 즉,

 

$$V_{1}' = V_{1} -\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}(1+e)(V_{1}-V_{2})$$

$$V_{2}' = V_{2} + \frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}(1+e)(V_{1}-V_{2})$$

 

 

 

여기까지 운동량 보존의 법칙과 충돌에 대해 알아보았습니다.