[동역학] 오일러 파라미터(Euler parameters) - (1)

이번 포스팅에서는 오일러 파라미터에 대해 알아보겠습니다.

(참고문헌: Computer-aided analysis of mechanical systems, Parviz E. Nikravesh)

 

 오일러 파라미터(Euler parameters)란?

3차원 공간에서 구속되지 않은 물체(unconstrained body)는

 

병진 3개 + 회전 3개, 총 6개의 좌표로 그 상태를 정의할 수 있습니다.

 

그리고 그 6개의 좌표는 global(x-y-z) 좌표계와 body-fixed($\xi-\eta-\zeta$) 좌표계의 관계로

 

정의할 수 있습니다.

 

그림1. 3차원 좌표계에서 병진/회전 운동이 일어난 경우(좌)와 회전운동만 일어난 경우(우)

 

이 때, 물체 위에 존재하는 모든 점은 body-fixed 좌표계에 놓여있기 때문에

 

global 좌표계를 기준으로도 정의할 수 있는데요.

 

이 관계를 설명하기 위한 수단이 오일러 파라미터입니다.

 

특히 3차원 회전에서는 각 축의 회전 순서에 따라 물체가 놓여있는 자세가 다를 수 있기 때문에

 

이를 잘 설명하는 것이 중요한데요.

 

그런 면에서 식은 다르지만 같은 용도로 사용하고 있는 방법이 오일러 각(Euler angle)이 되겠습니다.

[동역학] 오일러 각(Euler angle)

 

 오일러 파라미터(Euler parameters)에서의 좌표변환 행렬

오일러 파라미터는 Euler's theorem으로부터 출발합니다.

 

Euler's theorem

"The general displacement of a body with one point fixed is a rotation about some axis."

 

대충 번역하면 한 점이 고정된 물체의 변위는 어떤 축이 회전한 결과와 같다는 말인데요.

 

즉, 임의의 시간 t에서 body-fixed 좌표계의 원점은

 

이 좌표축을 어떤 가상의 축으로 회전시키면 global 좌표계와 같아진다는 말입니다.

 

그럼 이것을 수식으로 표현할 수 있는 방법을 찾아야겠죠?

 

이 회전 각도와 회전 방향 축의 direction cosin으로 좌표 변환의 표현을 찾아봅시다.

 

그림2. 벡터의 회전

그림 2의 상황을 생각해봅시다.

 

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{OP}$가 어떤 회전축을 중심으로 회전하여

 

$\overrightarrow{s}'=\overrightarrow{OP}'$의 위치에 놓여있다고 생각해봅시다.

 

여기서 $\overrightarrow{u}$는 그 회전 축의 단위 벡터입니다.

 

$\overrightarrow{s}$는 아래와 같은 벡터 합으로 표현할 수 있습니다.

 

$$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{NQ}+\overrightarrow{QP} \tag{1}$$

 

여기서 $\overrightarrow{ON}$의 방향은 $\overrightarrow{u}$와 같고

 

크기는 $\overrightarrow{s}'$을 $\overrightarrow{u}$ 상에 projection한 것과 같습니다.

 

따라서 아래와 같이 표현 가능합니다.

 

$$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{s}'\right) \tag{2}$$

 

$\overrightarrow{NP}'$은 아래와 같이 표현 가능하며

 

$$\overrightarrow{NP}'=\overrightarrow{s}'-\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{s}'-\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{s}'\right)$$

 

여기서 $\overrightarrow{NQ}$는 $\overrightarrow{NP}'$와 방향은 같고

 

크기는 $\overrightarrow{NP}$를 $\overrightarrow{NP}'$ 위에 projection한 것과 같기 때문에

 

아래와 같이 표현 가능합니다.

 

$$\overrightarrow{NP}=\left[\overrightarrow{s}'-\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{s}'\right)\right]\cos{\phi} \tag{3}$$

 

그리고 $\overrightarrow{QP}$의 방향은 $\overrightarrow{u}$와 $\overrightarrow{s}'$이 이루는

 

평면에 수직이므로 두 벡터의 외적과 같고, 크기는 $\overrightarrow{NP}$에 $\sin{\phi}$를 곱한 것과 같습니다.

 

$\overrightarrow{NP}$의 크기는 $\overrightarrow{NP}'$과 같으므로 $\overrightarrow{QP}$는

 

$$\overrightarrow{QP} = \overrightarrow{u}\times\overrightarrow{s}'\sin{\phi} \tag{4}$$

 

와 같이 표현 가능합니다.

 

식 (2), (3), (4)를 식 (1)에 대입하여 정리하면 아래와 같이 정리됩니다.

 

$$\overrightarrow{s} = \overrightarrow{s}'\cos{\phi}+\overrightarrow{u}\left(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{s}'\right)\left(1-\cos{\phi}\right)+\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{s}'\sin{\phi} \tag{5}$$

 

여기서 몇가지 삼각함수에 관한 공식을 사용합니다.

 

$$\cos{\phi}=2\cos^2{\frac{\phi}{2}}-1$$

$$\sin{\phi}=2\sin{\frac{\phi}{2}}\cos{\frac{\phi}{2}}$$

$$1-\cos{\phi}=2\sin^2{\frac{\phi}{2}}$$

 

이 때,

 

$$\cos{\frac{\phi}{2}}=e_0 \tag{a}$$

$$\overrightarrow{u}\sin{\frac{\phi}{2}}=\overrightarrow{e} \tag{b}$$

 

라 합시다. 그러면 식 (5)는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$$\overrightarrow{s}=\left(2e_0^2-1\right)\overrightarrow{s}'+2\overrightarrow{e}\left(\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{s}'\right)+2e_0\overrightarrow{e}\times\overrightarrow{s}' \tag{6}$$

 

대수식으로 간단히 나타내면 아래와 같습니다.

 

$$s=\left(2e_0^2-1\right)s'+2e\left(e^Ts'\right)+2e_0\left(\widetilde{e}s'\right)$$

$$=\left[\left(2e_0^2-1\right)I+2ee^T+2e_0\widetilde{e}\right]s' \tag{7}$$

 

여기서 $e=\left[e_1, e_2, e_3\right]^T$인 벡터이고, $e_0$는 스칼라이며, $\widetilde{e}$는 아래와 같습니다.

 

$$\widetilde{e}=\begin{bmatrix}0 & -e_3 & e_2 \\e_3 & 0 & -e_1 \\ -e_2 & e_1 & 0 \end{bmatrix}$$

 

여기서 식 (7)을 잘 살펴보면 우리는 global 좌표계 기준의 벡터인 $s$와

 

body-fixed 좌표계 기준의 벡터인 $s'$사이의 관계를 알 수 있습니다.

 

$s'$앞의 행렬이 body-fixed 좌표계에서 global 좌표계로의 좌표변환 역할을 하고 있는데요.

 

다시 말해 이 경우에 좌표변환 행렬 $A$는 아래와 같습니다.

 

$$A=\left(2e_0^2-1\right)I+2\left(ee^T+e_0\widetilde{e}\right)$$

$$=2\begin{bmatrix}e_0^2+e_1^2-\frac{1}{2} & e_1e_2-e_0e_3 & e_1e_3+e_0e_2\\e_1e_2+e_0e_3 & e_0^2+e_2^2-\frac{1}{2} & e_2e_3-e_0e_1\\e_1e_3-e_0e_2 & e_2e_3+e_0e_1 & e_0^2+e_3^2-\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$

 

여기서 $e_0, e_1, e_2, e_3$를 오일러 파라미터(Euler parameters)라 합니다.

 

그런데 우리는 식 (a), (b)로부터 오일러 파라미터가

 

각각 독립이 아니라는 것을 알 수 있습니다. 왜냐하면

 

$$e_0^2+e^Te=e_0^2+e_1^2+e_2^2+e_3^2=\cos^2{\frac{\phi}{2}}+u^Tu\sin^2{\frac{\phi}{2}}=1$$

 

이 성립하기 때문이죠.

 

즉, $p=\left[e_0,e^T\right]^T=\left[e_0,e_1,e_2,e_3\right]^T$라 할 때,

 

$$p^Tp-1=0$$

 

이 성립합니다.

 

쓰다보니 분량이 너무 많아졌네요.

 

이 성질을 어디다가 써먹는지는 다음 포스팅에서 설명하겠습니다.

 

여기까지 오일러 파라미터에 대한 설명이었습니다.

 

틀린 내용에 대한 지적은 환영합니다!

 

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[동역학] 오일러 파라미터(Euler parameters) - (2)