공부해서 남주자

이번 포스팅에서는 선형대수방정식을 푸는 반복법 중 하나인 가우스-자이델(Gauss-seidel)법에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) 가우스-자이델(Gauss-Seidel)법 가우스-자이델 기법은 선형대수방정식을 푸는 반복법 중의 하나로, 제법 보편적으로 사용되는 방법입니다. 이 방법은 해를 구하기 위해 미지수 $x$을 가정해야 하며, 이를 연립방정식을 구성하는 각각 다른 방정식에 대입시켜 해를 수렴시켜가는 방법입니다. 초기값은 흔히 0으로 많이 시작합니다. 아래와 같이 주어지는 방정식이 있다고 해보죠. $$[A]\left\{x\right\}=\left\{b\right\}$$ 만약 이 방정식이 3x3라면, 각 해를 구하기 ..

이번 포스팅에서는 선형대수방정식을 풀기 위한 방법 중 하나인 LU decomposition/factorization (LU 분해법)에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) LU decomposition/factorization (LU 분해법)이란? 앞에서 살짝 말씀드렸듯이 LU 분해법 또한 선형대수방정식의 해를 구하기 위한 방법 중 하나입니다. 이전 포스팅에서 선형대수방정식을 풀기 위한 다른 방법인 Gauss elimination을 알아보았는데요. 우선 선형대수방정식의 일반적인 형태는 아래와 같습니다. $$[A]\left\{x\right\}=\left\{b\right\} \tag{1}$$ Gauss elimination은 분명..

이번 포스팅에서는 선형대수방정식의 해를 구하는 방법 중 하나인 Gaussian elimination(가우스 소거법)에 대해 알아보겠습니다. (출처: Chapra의 응용수치해석 3rd edition, Steven C. Chapra 저) Gaussian elimination(가우스 소거법)이란? 가우스 소거법은 전진소거법을 통해 미지수를 소거하고, 후진대입하는 알고리즘으로써 선형대수방정식을 푸는데에 가장 기본이 되는 방법입니다. Gaussian elimination 하는 방법 예를 들어 아래와 같이 3개의 미지수와 3개의 방정식이 있다고 하면 $$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}$$ $$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}$$ $..

이번 포스팅에서는 수치 적분 기법 중 하나인 Newmark method(뉴마크 기법)에 대해 알아보도록 하겠습니다. Newmark method(뉴마크 기법) 개요 Newmark method는 대표적인 implicit method 중 하나인데요. Nathan Mortimore Newmark(1910 - 1981)라는 사람에 의해 1959년 발표된 논문에 소개된 적분법입니다. ("A method of computation for structural dynamics", Journal of the Engineering Mechanics Division, 85 (EM3): 67–94) implicit method란 현재와 미래 시간의 시스템의 상태로부터 미래 시간의 상태를 계산하는 방법입니다. 반대말은 expli..

이번 포스팅에서는 룽게-쿠타법에 대해 알아보도록 합시다. (부르기에 따라 런지-쿠타, 룽게-쿠타 등 여러 발음으로 불리기도 하나, 본 포스팅에서는 룽게-쿠타로 표기하겠습니다.) 룽게-쿠타법 (Runge-Kutta method) 룽게-쿠타법은 많은 수치적분법 중 한가지 방법입니다. 독일의 수학자 카를 다비트 톨메 룽게와 마르틴 빌헬름 쿠타가 개발하였고 흔히 4차항까지 구하여 사용하는 방법을 많이 쓰며, 이 방법은 RK4라고도 불립니다. 수치적분법 중 가장 흔히 사용되는 방법입니다. 식으로는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. $$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)h$$ 여기서 k는 아래와 같습니다. $k_1=f(t_i, y_i)$ $k_2=f(t_i+\frac{1}{..

이번 포스팅에서는 Newton-Raphson법에 대해 알아보도록 합시다. 뉴턴-랩슨(Newton-Raphson)법 개요 뉴턴-랩슨법이란 미분가능한 함수 f(x)의 해를 수치적으로 접근하여 근사해(solution)을 구할 수 있게 해주는 방법입니다. 이와 같이 수치해석을 통해 근사해를 구하는 이유 중 가장 큰 이유는 컴퓨터를 이용하여 연산하기 위해서일 것입니다. 컴퓨터는 exact solution을 구하지 못하니까요! 해를 구하는 과정 및 공식 뉴턴 랩슨법을 그림으로 간략하게 설명드리죠! 여기서 하는 일련의 행위는 궁극적으로 exact solution (c,0)에 가장 가까운 근사해(solution)를 찾기 위함입니다. 우선 해를 구하려는 함수 f(x)에 대하여 그에 대한 미분 f'(x)를 알 수 있어야 ..