[동역학] 기구학적 구속(kinematic constraint) - Four-bar linkage

이번 포스팅에서는 기구학적 구속에 대해 알아보겠습니다.

 

 기구학적 구속(kinematic constraint)과 구속식(constraint equation)

기구학적 구속이란 어떤 기구의 운동을 규정된 경계에 제한하거나

 

한정된 상태로 정의하는 것을 말하며, 이를 흔히 조인트(joint)라 부릅니다.

 

제한하는 자유도의 갯수에 따라 회전 조인트(revolute joint), 병진 조인트(translational joint) 등

 

부르는 형태도 다양합니다.

회전 조인트(revolute joint)로 구속된 4절 기구(Four-bar linkage)

또한 기구학적 구속은 수식으로 나타낼 수 있는데요.

 

위 4절 기구를 예로 들면,

 

4절 기구의 꼭지점을 각각 경유하는 벡터 $\vec{O_2A}$, $\vec{AB}$, $\vec{BO_4}$, $\vec{O_4O_2}$의 합이

 

항상 0이면 각 꼭지점은 분리되지 않고 기구학적으로 구속되게 됩니다.

 

즉, 위 4절 기구를 구속하고 있는 구속식은 아래와 같습니다.

 

$$\vec{O_2A}+\vec{AB}+\vec{BO_4}+\vec{O_4O_2}=0$$

 

 예제

위 4절 기구의 예시에 수치를 대입하여 구속식을 다시 한번 구해봅시다.

 

우선 2차원이기 때문에 각 좌표에 대한 구속식 총 2개가 필요합니다.

 

각 구속식을 $\phi_1$, $\phi_2$라 하고 두 구속식을 묶어

 

$\Phi=\begin{bmatrix} \phi_1\\\phi_2\end{bmatrix}$라 하겠습니다.

 

먼저 global coordinate의 수평 방향인 $x_1$축 방향과

 

수직 방향인 $y_1$축 방향에 대하여 구속식을 구하면 각각 아래와 같습니다.

 

$$\phi_1 = 5\cos{\theta_2}+9\cos{\theta_3}+7\cos{\theta_4}-10=0 \tag{1}$$

$$\phi_2 = 5\sin{\theta_2}+9\sin{\theta_3}+7\sin{\theta_4}=0 \tag{2}$$

 

만약 $\theta_2$에 대하여 위치, 속도의 초기값이 주어진다면

 

구속식 2개($\phi_1$, $\phi_2$), 미지수 2개($\theta_3$, $\theta_4$)이므로

 

우리는 이 방정식을 풀 수 있습니다.

 

초기값을 아래와 같이 가정해보죠.

 

$\theta_2 = \pi/3$ rad

$\dot{\theta_2}=2\pi$ rad/s

 

그렇다면 식 (1), (2)는 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

 

$$9\cos{\theta_3}+7\cos{\theta_4}=7.50$$

$$9\sin{\theta_3}+7\sin{\theta_4}=-4.33$$

 

이대로는 비선형방정식이라 trial & error 방식으로 푸는 수 밖에 없겠습니다.

 

식 (1), (2)를 미분하여 속도, 가속도에 대하여 풀려고 해도

 

형태는 삼각함수가 섞인 비선형방정식의 형태로 나오게 됩니다.

 

그럼 이 식을 어떻게 풀까요?

 

이미 배웠습니다. 바로 뉴턴-랩슨법(Newton-Raphson method)!

[수치해석] 뉴턴-랩슨(Newton-Raphson)법 (with Python)

Newton-Raphson법

각 구속식 (1)과 (2)를 미분하여 도함수를 만들고,

 

위 공식에 집어넣기만 하면 됩니다.

 

각 구속식의 도함수를 $\phi_{1,\theta}$, $\phi_{2,\theta}$라 하겠습니다.

 

$$\phi_{1,\theta} = -9\sin{\theta_3}-7\sin{\theta_4} = 0$$

$$\phi_{2,\theta} = 9\cos{\theta_3}+7\cos{\theta_4} = 0$$

 

$\theta_3$, $\theta_4$의 초기값을 각각 0.33, 4.59라 두고

 

뉴턴-랩슨법을 반복해봅시다.

3회 반복 후에 $\Delta\theta_3$, $\Delta\theta_4$가 충분히 작아졌으므로

 

위 구속식의 수치해, 즉 좌표 값 $\theta_3$, $\theta_4$는

 

각각 $\theta_3$ = 0.2908 = 16.66˚, $\theta_4$ = 4.5513 = 260.77˚라 할 수 있습니다.

 

여기까지 기구학적 구속이 무엇인지,

 

그리고 그 구속 방정식을 푸는 방법에 대해서 알아보았습니다.