[동역학] 오일러 각(Euler angle)

이번 포스팅에서는 오일러 각에 대해 알아보도록 합시다.

 

 오일러 각(Euler angle)

오일러 각은 흔히 오일러 앵글이라고들 많이 부르는데,

 

3차원 공간에서 강체가 놓인 자세를 표현하기 위해 나타내는 3개의 각도입니다.

 

그리고 그 순서에 따라 x:1, y:2, z:3과 같이 숫자를 붙여서

 

오일러 313(z-x-z), 오일러 321(z-y-x) 좌표 등으로 부릅니다.

 

 왜 쓸까?

2차원에서는 회전 자유도가 1개 뿐이기 때문에

 

강체가 회전할 때에 어느 방향으로 회전해도 한 개의 좌표 θ로 나타낼 수 있지만,

 

3차원에서는 이야기가 다릅니다.

 

그림 1. 3차원 좌표계

그림 1과 같이 나란히 놓여있는 좌표계에서 각 축을 순서를 달리하여 회전시켜보죠.

 

1) x축을 회전축으로 하여 +90º, y축을 회전축으로 하여 +90º만큼 회전

그림 2. x축으로 +90º, y축으로 +90º 회전

 

2) y축을 회전축으로 하여 +90º, x축을 회전축으로 하여 +90º만큼 회전

그림 3. y축으로 +90º, x축으로 +90º 회전

 

두 경우, 각 축으로 회전한 양은 각각 90º로 같지만, 회전 축의 순서에 따라

 

좌표 축이 가리키는 방향이 다른 것을 확인할 수 있습니다.

 

이처럼, 3차원에서는 회전하는 방향의 순서에 따라 강체의 자세가 달라지기 때문에

 

회전하는 세 개 각도의 순서를 정하여 강체의 자세를 나타내는 것이 오일러 각입니다.

 

 

 변환행렬(Transformation matrix)

회전 변환을 나타내기 위한 행렬을 변환 행렬이라 합니다.

 

그리고 각 축 방향의 회전각도에 대하여, 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

1) x축을 회전축으로 하여 회전할 때의 변환행렬

 

2) y축을 회전축으로 하여 회전할 때의 변환행렬

 

3) z축을 회전축으로 하여 회전할 때의 변환행렬

 

 

 오일러 각을 이용하여 좌표를 나타내는 법

오일러 각이 무엇인지, 그리고 변환행렬이 무엇인지도 알아봤으니

 

이를 이용해 임의의 값을 가지는 X=(x,y,z)라는 벡터에 대해 적용해볼까요?

 

간단합니다.

 

회전하기 전의 좌표계를 Global 좌표계, 회전 후의 좌표계를 Local 좌표계라 하고

 

회전하기 전의 벡터 X = [x, y, z], 회전 후의 벡터 X''' = [x''', y''', z''']라 한다면

 

Local 좌표계 기준의 벡터에 변환행렬을 곱하면 그만입니다.

 

즉, 벡터 X와 X'''를 오일러321좌표의 관계로 표현하고 싶다면

 

로 나타낼 수 있습니다.

 

 

 주의사항 - Critical angle (gimbal lock case)

오일러 각을 이용하여 좌표를 계산할 때엔 주의해야할 사항이 있습니다.

 

바로 두번째 회전 각도 때문인데요.

 

경우에 따라 두번째 각도가 nπ, (2n+1)π/2일 때 (n=0, 1, 2, ...)

 

'짐벌 락' 현상이 생깁니다.

 

예를 들어 오일러 313의 경우, 두번째 각도가 nπ일 때 짐벌 락 현상이 발생합니다.

 

수학적으로는 운동방정식을 풀 때 변환행렬의 inverse matrix를 구하게 되는데

 

이 때 행렬의 determinant가 0이 되어 발산하는 현상을 말하며,

 

직접 좌표축을 돌려보면 두번 째 회전 시 +z축과 -z축이 나란하게 되어

 

자세가 구분이 되지 않습니다.

 

이런 이유때문에 오일러 각을 사용할 땐

 

critical angle에 대해 숙지하고 사용하여야 합니다.

 

 

 

이번 포스팅에서는 오일러 각(Euler angle)에 대해 알아보았습니다.