[재료역학] 보의 처짐각 & 처짐량 공식 유도

이번 포스팅에서는 보의 처짐 공식 유도하는 법에 대해 알아봅시다.

 

 보의 처짐 곡선 방정식

우선 처짐 공식을 유도하기위해 처짐 곡선 방정식부터 유도해봅시다.

 

처짐 곡선은 좌표 x에 대한 처짐량의 함수로 나타낼 수 있으며,

 

보의 각 지점에서 발생하는 처짐은 그 점에서의 곡률반경과 모멘트의 함수로써

 

아래와 같이 표현됩니다.

 

 

이 곡률에 관한 방정식과 보의 처짐 사이의 관계는 s1, s2점을 살펴보면 알 수 있는데요.

 

s1점에서 그은 접선과 x축이 이루는 각을 θ,

 

s2점에서 그은 접선과 x축이 이루는 각을 θ-dθ라 하면

 

그럼 각 s1-O-s2가 이루는 각은 dθ가 되죠.

 

즉, ds=ρdθ의 관계가 성립합니다. 따라서 

 

그런데 여기서 실제 보의 처짐은 small deformation이기 때문에

 

라 할 수 있으므로,

 

위와 같이 정리됩니다. 따라서 보의 처짐 곡선 방정식은 아래와 같습니다.

 

 

 보의 처짐각 & 처짐량

아래 외팔보에 대해 처짐 공식을 구해봅시다.

 

길이 L인 보의 끝점에 힘 P가 작용하고, 그에 따라 보의 시작점에

 

반력 P와 저항모멘트 M이 작용하고 있는 상태입니다.

 

위에서 유도한 처짐 곡선의 방정식을 이용해 처짐량을 유도해보죠.

 

우선, 모멘트 M=PL이므로,

 

적분하면

 

여기서 x=0일 때 보의 시작점에선 처짐각이 0이므로 C1 = 0입니다.

 

dy/dx는 보의 처짐각도이므로, 정리하여 나타내면 아래와 같습니다.

 

그럼 보의 끝점에서 처짐각을 알아보죠.

 

 

보가 아래방향으로 처지므로, 여기서 각도의 부호는 -가 맞습니다.

 

처짐량을 구하기 위해 다시 한번 적분하면

 

이 때, x=0이면 보의 시작점에선 처짐량 또한 0이므로 C2 = 0입니다.

 

따라서, 보의 처짐량 y는 아래와 같습니다.

 

하중 P에 의한 끝점에서의 처짐량 y(L)은 아래와 같습니다.

 

보가 아래방향으로 처지므로, 위 식값에서 처짐량의 부호는 (-)가 맞습니다.

 

 

정리하자면,

 

보의 처짐각 y'(x) & 처짐량 y(x) 공식

 

끝점 L에서의 처짐각 y'(L) & 처짐량 y(L)

 

 

 보의 종류와 처짐각 & 처짐량

여러 종류 보의 처짐각(θ)과 처짐량(δ)을 아래에 나타내었습니다.

 

경우에 맞게 활용할 수 있을거예요!

 

 

 

 

이상으로 보의 처짐각과 처짐량에 대해 알아보았습니다.