[재료역학] 카스틸리아노의 정리(Castigliano's theorem)

이번 포스팅에서는 카스틸리아노의 정리에 대해 알아봅시다.

 

 카스틸리아노의 정리(Castigliano's theorem)

카스틸리아노의 정리는 선형탄성계에서 변형에너지로부터

 

변위나 하중을 구하는 방법입니다.

 

제 1정리와 제 2정리 두가지가 있는데요,

 

카스틸리아노의 제 1정리

 

"어떤 탄성 구조물의 변형에너지를 변위의 함수로 나타낼 수 있다면,

 

변형에너지를 변위에 대해 편미분한 값은 하중과 같다." 고 하는 것입니다.

 

즉,

 

 

여기서 P=하중, U=변형에너지, δ=변위 입니다.

 

카스틸리아노의 제 2정리

 

어떤 탄성 구조물의 변형에너지를 하중의 함수로 나타낼 수 있다면,

 

변형에너지를 하중에 대해 편미분한 값은 변위와 같다."고 하는 것입니다.

 

즉,

 

 

이 방법을 활용하면,

 

변형에너지를 통해 쉽게 처짐량과 처짐각을 계산할 수 있습니다.

 

예시를 통해 알아봅시다.

 

 

 적용 예시

이 전 포스팅에서 보의 처짐곡선을 유도 후 적분하여 보의 처짐량을 계산했었죠?

 

[재료역학] 보의 처짐각 & 처짐량 공식 유도

이젠 그럴 필요가 없습니다.

 

아래 예시에다가 카스틸리아노의 정리를 적용해 봅시다.

우선 위의 보에서 변형에너지는 아래와 같습니다.

 

여기서 끝 점에 하중 P가 작용하므로, 거리 x에 따른 모멘트 M=-Px입니다.

 

대입하여 카스틸리아노의 정리를 바로 적용해봅시다.

 

변형에너지를 하중으로 미분했더니, 위에서 구했던 처짐량값이 그대로 나옵니다.

 

모멘트로 미분하면 어떨까요?

 

힘으로 미분했더니 처짐량이 나왔으니

 

모멘트로 미분하면 처짐각이 나오겠죠?

 

예상했던대로 모멘트로 미분했더니 처짐각이 나오네요.

 

이처럼 카스틸리아노의 정리를 활용하면

 

복잡하게 처짐곡선을 유도하지 않아도, 변형에너지만으로

 

처짐량과 처짐각을 쉽게 계산할 수 있습니다.

 

 

 

여기까지 카스틸리아노의 정리에 대해 알아보았습니다.