[재료역학] 관성모멘트(Moment of inertia), 극관성모멘트(Polar moment of inertia)

이번 포스팅에서는 지난번 단면 1차모멘트에 이어

 

관성모멘트 및 극관성모멘트가 무엇인지에 대해 알아봅시다.

 

단면 1차 모멘트에 대해 궁금하신 분들은 아래 글을 참고하세요!

 

[재료역학] 단면 1차 모멘트(First moment of area)와 도심(Centroid)

 

 관성모멘트(Moment of inertia)

관성모멘트는 부재의 단면 모양에 의해 결정되는데,

 

단면의 성질에 따라 휨이나 처짐에 대한 저항을 말해줍니다.

 

단면 2차 모멘트라고도 합니다.

 

그렇기 때문에 각 축 방향에 따라 관성모멘트는 각각 다르며,

 

구하는 방법은 아래와 같습니다.

 

 

그리고 도심을 지나는 축에서 관성모멘트는 최소값을 가지게 됩니다.

 

다양한 도형에 대한 단면 2차 모멘트값을 아래에 나타내었습니다.

 

여기서 G는 도심(centroid)입니다.

 

 

 

 평행축 정리(Parallel axis theorem)

그런데 여기서 만약 관성모멘트의 축이 도심을 지나지 않는다면 어떨까요?

 

이때는 평행축정리를 사용하여 옮긴 축에 대한 관성모멘트를 구할 수 있습니다.

 

식으로 나타내면 아래와 같습니다.

 

직사각형의 예를 하나 보여드리죠.

 

 

관성모멘트 계산 시 기준이 되는 축을 x축만 h/2만큼 아래로 평행이동하였습니다.

 

그 결과 x축에 대한 관성모멘트는 평행축정리에 의해 변화되었지만,

 

y축에 대한 관성모멘트는 기준 축이 변하지 않았으므로

 

변화가 없음을 확인할 수 있습니다.

 

 극관성모멘트(Polar moment of inertia)

극관성모멘트는 비틀림에 대한 저항을 나타내는 물리량입니다.

 

구하는 방법은 각 축의 관성모멘트의 합으로 나타내어집니다. 즉,

 

 

주로 학부과정에서 연습문제를 풀다보면 원형단면이 많이 나오는데,

 

원형 단면의 경우에 결과는 아래와 같습니다.

 

 

 

 

결과적으로 우리는 단면의 관성모멘트만 알고 있으면,

 

기준 축이 바뀌는 경우에 평해축 정리를 사용하여 관성모멘트를 계산할 수 있고,

 

극관성모멘트는 각 축의 관성모멘트를 더하여 계산할 수 있습니다.

 

그렇기 때문에 다양한 단면 형상에서의 관성모멘트는

 

기본적으로 외워줄 필요가 있습니다.

 

 

여기까지 관성모멘트와 극관성모멘트에 대해 알아보았습니다.