[기계진동] 조화력(harmonic force)을 받는 비감쇠계의 응답

이번 포스팅에서는 조화력을 받는 비감쇠계의 응답에 대해 알아보겠습니다.

 

 조화운동(harmonic motion)이란?

조화력을 받는 계의 응답을 알아보기 전에 조화운동이 무엇인지부터 알아봅시다.

 

조화운동(harmonic motion)이란,

 

물체의 운동을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때 그 함수가 삼각함수(sin, cos)의 형태로

 

나타내어질 수 있을 때의 운동을 말합니다.

 

위와 유사하게 조화력은 아래와 같이 힘을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때

 

삼각함수의 형태로 표현할 수 있는 힘을 말합니다. 즉 아래와 같은 형태가 됩니다.

 

$$F(t) = F_0 \cos \omega t$$

 

 조화력(harmonic force)을 받는 비감쇠계의 응답

조화력을 받는 비감쇠계에 대해 알아보겠습니다.

 

위에서 조화력에 대해 알아본 바 있으므로, 조화력을 받는 질량 $m$의

 

비감쇠계에 대한 운동방정식은 아래와 같습니다.

 

$$m\ddot{x}+kx = F_0 \cos \omega t \tag{1}$$

 

위 운동방정식의 homogeneous solution $x_h (t)$은 아래와 같은 형태가 됩니다.

 

$$x_h (t) = C_1 \cos \omega_n t+C_2 \sin \omega_n t \tag{2}$$

 

여기서 $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 입니다.

 

조화력이 작용하므로 particular solution $x_p (t)$ 또한 조화력과 같은 진동수 $\omega$를 가지며

 

아래와 같은 해의 형태를 가집니다.

 

$$x_p (t) = X\cos \omega t \tag{3}$$

 

여기서 $X$는 $x_p (t)$의 최대 진폭을 나타냅니다.

 

식 (3)을 식 (1)에 대입하여 진폭 $X$에 관하여 정리하면 아래와 같습니다.

 

$$X=\frac{F_0}{k-m\omega^2}=\frac{\delta_{st}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}$$

 

이 때 $\delta_{st} = \frac{F_0}{k}$, 즉 힘 $F_0$을 받을 때 정적 처짐을 나타냅니다.

 

homogeneous solution과 particular solution을 모두 구했으니

 

운동방정식의 해 $x(t)$는 두 해 $x_h (t)$, $x_p (t)$를 합한 것입니다. 

 

$$x(t) = C_1 \cos \omega_n t+C_2 \sin \omega_n t + \frac{F_0}{k-m\omega^2}\cos \omega t \tag{4}$$

 

운동방정식의 초기조건 $x(0) = x_0$, $\dot{x}(0)=\dot{x_0}$을 사용하면

 

계수 $C_1, C_2$를 구할 수 있습니다.

 

$$C_1 = x_0-\frac{F_0}{k-m\omega^2}$$

$$C_2 = \frac{\dot{x_0}}{\omega_n}$$

 

이를 식 (4)에 대입하여 정리하면 최종 운동방정식의 해는 아래와 같습니다.

 

$$\therefore x(t) = (x_0-\frac{F_0}{k-m\omega^2})\cos \omega_n t+(\frac{\dot{x_0}}{\omega_n})\sin \omega_n t+\frac{F_0}{k-m\omega^2}\cos \omega t$$

 

앞서 구했던 최대진폭에 대한 식을 활용하여 아래와 같이 나타내어 봅시다.

 

$$\frac{X}{\delta_{st}}=\frac{1}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2} \tag{5)$$

 

$X/\delta_{st}$는 이 시스템의 동적 진폭과 정적진폭에 대한 비를 나타내며

 

확대율(magnification factor), 증폭률(amplification factor) 혹은 진폭비(amplitude ratio)로 불립니다.

 

이 비(ratio)는 $\omega/\omega_n$의 크기에 따라 다르게 분석할 수 있는데요.

진동수비 $r$에 따른 amplitude ratio

Case 1. $0 < \omega/\omega_n < 1$

 

식 (5)의 분모는 양이고 계의 응답 또한 위 그래프에서 알 수 있듯 양의 무한대로 다가갑니다.

 

입력과 응답의 부호가 같기 때문에 동위상을 같습니다.

 

Case 2. $\omega/\omega_n > 1$

 

식 (5)의 분모가 음이 되며, 계의 응답이 -$\infty$에서 0에 수렴해가는 모습을 보입니다.

 

따라서 매우 높은 진동수의 조화력($\omega \Lefttarrow 1$)의 경우 응답이 0에 수렴합니다.

 

이 경우 입력과 응답의 부호가 다르기 때문에 180˚의 위상차를 갖습니다.

 

Case 3. $\omega/\omega_n=1$

 

식 (5)에 의해 분모가 0이 되어 이론적으로는 진폭 $X$가 무한대가 됩니다.

 

이러한 경우를 공진이라고 합니다.

 

 

여기까지 조화력을 받는 비감쇠계의 응답에 대해 알아보았습니다.