[기계진동] 조화력(harmonic force)을 받는 감쇠계의 응답

이번 포스팅에서는 조화력을 받는 감쇠계의 응답에 대해 알아보겠습니다.

 

 조화력을 받는 감쇠계의 응답

조화력이 무엇인지는 비감쇠계의 응답 부분에서 설명하였으니 넘어가도록 하고,

 

바로 시스템의 응답에 대해 알아보겠습니다.

 

조화력 $F(t) = F_0\cos \omega t$가 가해질 때 질량 $m$의 감쇠계 운동방정식은 아래와 같습니다.

 

$$m\ddot{x} + c\dot{x}+kx = F_0\cos \omega t \tag{1}$$

 

식 (1)의 particular solution 또한 조화함수의 형태일 것이므로 해를 아래와 같이 가정합니다.

 

$$x_p (t) = X\cos (\omega t-\phi) \tag{2}$$

 

이 때 $X$와 $\phi$는 각각 응답의 진폭과 위상각을 나타냅니다.

 

가정된 해인 식 (2)를 식 (1)에 대입하여 정리하면 아래와 같습니다.

 

$$X[(k-m\omega^2)\cos(\omega t-\phi)-c\omega\sin(\omega t-\phi)]=F_0\cos\omega t \tag{3}$$

 

대입하여 얻어진 식 (3)에서 아래 관계를 이용하여

 

$$\cos(\omega t-\phi)=\cos\omega t\cos\phi +\sin\omega t \sin\phi$$

$$\sin(\omega t-\phi) = \sin\omega t\cos \phi-\cos \omega t\sin \phi$$

 

식 (3)에 대입하여 $\cos\omega t$와 $\sin\omega t$의 계수를 같다고 놓으면

 

아래 두 식을 얻을 수 있습니다.

 

$$X[(k-m\omega^2)\cos\phi+c\omega\sin\phi]=F_0 \tag{4}$$

$$X[(k-m\omega^2)\sin\phi-c\omega\cos\phi]=0 \tag{5}$$

 

식 (4)에서

 

$$X = \frac{F_0}{[(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2]^{1/2}}$$

 

식 (5)에서

 

$$\phi = \tan^{-1}(\frac{c\omega}{k-m\omega^2})$$

 

을 각각 구할 수 있습니다.

 

이제 진폭비(amplitude ratio)와 위상각 $\phi$를 나타낼 수 있습니다.

 

진폭 $X$의 식을 하중 $F_0$하에서의 정적처짐 $\delta_{st}$로 나눈 값이 진폭비(amplitude ratio)이며

 

$$\frac{X}{\delta_{st}} = \frac{k}{[(k-m\omega^2)^2+c^2\omega^2]^{1/2}}=\frac{1}{\sqrt{(1-r^2)^2+(2\zeta r)^2}}$$

 

위상각 $\phi$는

 

$$\phi = \tan^{-1}(\frac{2\zeta\frac{\omega}{\omega_n}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2})=\tan^{-1}(\frac{2\zeta r}{1-r^2})$$

 

여기서

 

$$\omega_n = \sqrt{k/m}$$

$$\zeta = \frac{c}{c_c}=\frac{c}{2m\omega_n}=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$

$$\delta_{st} = \frac{F_0}{k}$$

$$r = \frac{\omega}{\omega_n}$$

 

입니다.

 

아래 그림은 진동수 비 $r$에 대한 amplitude ratio의 변화 그래프입니다.

진동수 비 $r$에 대한 amplitude ratio

비감쇠($\zeta=0$)의 경우 진동수 비가 1에 가까워 질 수록 그 크기는 무한대로 발산하며,

 

$\zeta$가 커지면 커질 수록 그 응답의 크기는 감소하는 경향을 보입니다.

 

아래 code는 위 그래프를 그리기 위한 python code입니다.

 

허접하지만 도움이 되셨으면 합니다.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

zeta = np.arange(0, 5, 5/51)
r = np.arange(0, 5, 5/51)

plt.figure()
for i in zeta:
    ampRatio = 1/np.sqrt((1-r**2)**2+(2*i*r)**2)
    plt.plot(r, ampRatio, 'b')

plt.xlim([0, 5])
plt.ylim([0, 5])
plt.grid()
plt.title('amplitude ratio')
plt.xlabel('r($\omega / \omega_n$)')
plt.ylabel('Amplitude ratio($X/\delta_{st}$)')
plt.show()

 

 

여기까지 조화력을 받는 감쇠계의 응답에 대해 알아보았습니다.