이번 포스팅에서는 조화력을 받는 비감쇠계의 응답에 대해 알아보겠습니다.
조화운동(harmonic motion)이란?
조화력을 받는 계의 응답을 알아보기 전에 조화운동이 무엇인지부터 알아봅시다.
조화운동(harmonic motion)이란,
물체의 운동을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때 그 함수가 삼각함수(sin, cos)의 형태로
나타내어질 수 있을 때의 운동을 말합니다.
위와 유사하게 조화력은 아래와 같이 힘을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때
삼각함수의 형태로 표현할 수 있는 힘을 말합니다. 즉 아래와 같은 형태가 됩니다.
F(t)=F0cosωt
조화력(harmonic force)을 받는 비감쇠계의 응답
조화력을 받는 비감쇠계에 대해 알아보겠습니다.
위에서 조화력에 대해 알아본 바 있으므로, 조화력을 받는 질량 m의
비감쇠계에 대한 운동방정식은 아래와 같습니다.
m¨x+kx=F0cosωt
위 운동방정식의 homogeneous solution xh(t)은 아래와 같은 형태가 됩니다.
xh(t)=C1cosωnt+C2sinωnt
여기서 ωn=√km 입니다.
조화력이 작용하므로 particular solution xp(t) 또한 조화력과 같은 진동수 ω를 가지며
아래와 같은 해의 형태를 가집니다.
xp(t)=Xcosωt
여기서 X는 xp(t)의 최대 진폭을 나타냅니다.
식 (3)을 식 (1)에 대입하여 진폭 X에 관하여 정리하면 아래와 같습니다.
X=F0k−mω2=δst1−(ωωn)2
이 때 δst=F0k, 즉 힘 F0을 받을 때 정적 처짐을 나타냅니다.
homogeneous solution과 particular solution을 모두 구했으니
운동방정식의 해 x(t)는 두 해 xh(t), xp(t)를 합한 것입니다.
x(t)=C1cosωnt+C2sinωnt+F0k−mω2cosωt
운동방정식의 초기조건 x(0)=x0, ˙x(0)=˙x0을 사용하면
계수 C1,C2를 구할 수 있습니다.
C1=x0−F0k−mω2
C2=˙x0ωn
이를 식 (4)에 대입하여 정리하면 최종 운동방정식의 해는 아래와 같습니다.
∴x(t)=(x0−F0k−mω2)cosωnt+(˙x0ωn)sinωnt+F0k−mω2cosωt
앞서 구했던 최대진폭에 대한 식을 활용하여 아래와 같이 나타내어 봅시다.
\frac{X}{\delta_{st}}=\frac{1}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2} \tag{5)
X/δst는 이 시스템의 동적 진폭과 정적진폭에 대한 비를 나타내며
확대율(magnification factor), 증폭률(amplification factor) 혹은 진폭비(amplitude ratio)로 불립니다.
이 비(ratio)는 ω/ωn의 크기에 따라 다르게 분석할 수 있는데요.

Case 1. 0<ω/ωn<1
식 (5)의 분모는 양이고 계의 응답 또한 위 그래프에서 알 수 있듯 양의 무한대로 다가갑니다.
입력과 응답의 부호가 같기 때문에 동위상을 같습니다.
Case 2. ω/ωn>1
식 (5)의 분모가 음이 되며, 계의 응답이 -∞에서 0에 수렴해가는 모습을 보입니다.
따라서 매우 높은 진동수의 조화력(ω\Lefttarrow1)의 경우 응답이 0에 수렴합니다.
이 경우 입력과 응답의 부호가 다르기 때문에 180˚의 위상차를 갖습니다.
Case 3. ω/ωn=1
식 (5)에 의해 분모가 0이 되어 이론적으로는 진폭 X가 무한대가 됩니다.
이러한 경우를 공진이라고 합니다.
여기까지 조화력을 받는 비감쇠계의 응답에 대해 알아보았습니다.
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