이번 포스팅에서는 조화력을 받는 비감쇠계의 응답에 대해 알아보겠습니다.
조화운동(harmonic motion)이란?
조화력을 받는 계의 응답을 알아보기 전에 조화운동이 무엇인지부터 알아봅시다.
조화운동(harmonic motion)이란,
물체의 운동을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때 그 함수가 삼각함수(sin, cos)의 형태로
나타내어질 수 있을 때의 운동을 말합니다.
위와 유사하게 조화력은 아래와 같이 힘을 시간에 대한 함수로 나타내었을 때
삼각함수의 형태로 표현할 수 있는 힘을 말합니다. 즉 아래와 같은 형태가 됩니다.
$$F(t) = F_0 \cos \omega t$$
조화력(harmonic force)을 받는 비감쇠계의 응답
조화력을 받는 비감쇠계에 대해 알아보겠습니다.
위에서 조화력에 대해 알아본 바 있으므로, 조화력을 받는 질량 $m$의
비감쇠계에 대한 운동방정식은 아래와 같습니다.
$$m\ddot{x}+kx = F_0 \cos \omega t \tag{1}$$
위 운동방정식의 homogeneous solution $x_h (t)$은 아래와 같은 형태가 됩니다.
$$x_h (t) = C_1 \cos \omega_n t+C_2 \sin \omega_n t \tag{2}$$
여기서 $\omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}}$ 입니다.
조화력이 작용하므로 particular solution $x_p (t)$ 또한 조화력과 같은 진동수 $\omega$를 가지며
아래와 같은 해의 형태를 가집니다.
$$x_p (t) = X\cos \omega t \tag{3}$$
여기서 $X$는 $x_p (t)$의 최대 진폭을 나타냅니다.
식 (3)을 식 (1)에 대입하여 진폭 $X$에 관하여 정리하면 아래와 같습니다.
$$X=\frac{F_0}{k-m\omega^2}=\frac{\delta_{st}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}$$
이 때 $\delta_{st} = \frac{F_0}{k}$, 즉 힘 $F_0$을 받을 때 정적 처짐을 나타냅니다.
homogeneous solution과 particular solution을 모두 구했으니
운동방정식의 해 $x(t)$는 두 해 $x_h (t)$, $x_p (t)$를 합한 것입니다.
$$x(t) = C_1 \cos \omega_n t+C_2 \sin \omega_n t + \frac{F_0}{k-m\omega^2}\cos \omega t \tag{4}$$
운동방정식의 초기조건 $x(0) = x_0$, $\dot{x}(0)=\dot{x_0}$을 사용하면
계수 $C_1, C_2$를 구할 수 있습니다.
$$C_1 = x_0-\frac{F_0}{k-m\omega^2}$$
$$C_2 = \frac{\dot{x_0}}{\omega_n}$$
이를 식 (4)에 대입하여 정리하면 최종 운동방정식의 해는 아래와 같습니다.
$$\therefore x(t) = (x_0-\frac{F_0}{k-m\omega^2})\cos \omega_n t+(\frac{\dot{x_0}}{\omega_n})\sin \omega_n t+\frac{F_0}{k-m\omega^2}\cos \omega t$$
앞서 구했던 최대진폭에 대한 식을 활용하여 아래와 같이 나타내어 봅시다.
$$\frac{X}{\delta_{st}}=\frac{1}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2} \tag{5)$$
$X/\delta_{st}$는 이 시스템의 동적 진폭과 정적진폭에 대한 비를 나타내며
확대율(magnification factor), 증폭률(amplification factor) 혹은 진폭비(amplitude ratio)로 불립니다.
이 비(ratio)는 $\omega/\omega_n$의 크기에 따라 다르게 분석할 수 있는데요.
Case 1. $0 < \omega/\omega_n < 1$
식 (5)의 분모는 양이고 계의 응답 또한 위 그래프에서 알 수 있듯 양의 무한대로 다가갑니다.
입력과 응답의 부호가 같기 때문에 동위상을 같습니다.
Case 2. $\omega/\omega_n > 1$
식 (5)의 분모가 음이 되며, 계의 응답이 -$\infty$에서 0에 수렴해가는 모습을 보입니다.
따라서 매우 높은 진동수의 조화력($\omega \Lefttarrow 1$)의 경우 응답이 0에 수렴합니다.
이 경우 입력과 응답의 부호가 다르기 때문에 180˚의 위상차를 갖습니다.
Case 3. $\omega/\omega_n=1$
식 (5)에 의해 분모가 0이 되어 이론적으로는 진폭 $X$가 무한대가 됩니다.
이러한 경우를 공진이라고 합니다.
여기까지 조화력을 받는 비감쇠계의 응답에 대해 알아보았습니다.
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