[기계진동] 동흡진기(dynamic vibration absorber)

이번 포스팅에서는 동흡진기(dynamic vibration absorber)에 대해 알아보겠습니다.

 

 동흡진기(dynamic vibration absorber)

동흡진기, 줄여서 흡진기라고도 불리는 기계장치는

 

시스템의 원치않는 진동을 줄이거나 제거하는데에 사용되는 장치입니다.

 

진동으로부터 보호할 필요가 있는 시스템의 질량에 장착된 추가적인 질량과 강성으로 구성되는데요.

 

자유물체도로 표현하면 아래와 같습니다.

비감쇠 동흡진기 자유물체도 예시

아래에서 위 그림으로 나타낸 시스템에 대하여 응답을 분석해보겠습니다.

 

 비감쇠 동흡진기의 예

먼저 비감쇠의 경우에 대하여 시스템의 응답을 예를 통해 알아봅시다.

 

위 그림의 시스템에서의 운동방정식은 아래와 같습니다.

 

$$m_1\ddot{x}_1 +k_1x_1+k_2(x_1-x_2)=F_0\sin\omega t \tag{1}$$

$$m_x\ddot{x}_2+k_2(x_2-x_1)=0 \tag{2}$$

 

해를 조화함수로 가정하면

 

$$x_1(t) = X_1\sin\omega t$$

$$x_2(t) = X_2\sin\omega t$$

 

가정된 해를 식 (1)과 식 (2)에 대입하여 진폭 $X_i (i=1,2)$를 구하면 아래와 같습니다.

 

$$X_1 = \frac{(k_2-m_2\omega^2)F_0}{(k_1+k_2-m_1\omega^2)(k_2-m_2\omega^2)-k} \tag{3}$$

$$X_2 = \frac{k_2F_0}{(k_1+k_2-m_1\omega^2)(k_2-m_2\omega^2)-k} \tag{4}$$

 

우리의 목적은 공진점 부근에서 $X_1$을 감소시키는 것입니다.

 

진폭을 0으로 만들기 위해서는 식 (3)의 분자가 0이 되어야 하므로

 

$$k_2-m_2\omega^2 = 0$$

$$\Rightarrow \omega^2 = \frac{k_2}{m_2}$$

 

인 점을 알 수 있습니다.

 

따라서 질량 $m_1$인 시스템이 공진점 부근($\omega_1^2 = \frac{k_1}{m_1}$)에서 운전하고 있고,

 

그 진동을 줄이고자 한다면 흡진기를 아래 조건

 

$$\omega^2 = \frac{k_2}{m_2}=\frac{k_1}{m_1}$$

 

이 되도록 설계하여 공진주파수 부근에서의 진동을 줄일 수 있습니다.

 

식 (3), 식 (4)를 진폭비에 대하여 나타내면 아래와 같은 방식으로도 표현가능합니다.

 

$$\frac{X_1}{\delta_{st}}=\frac{1-(\frac{\omega}{\omega_2})^2}{[1+\frac{k_2}{k_1}-(\frac{\omega}{\omega_1})^2][1-(\frac{\omega}{\omega_2})^2]-\frac{k_2}{k_1}} \tag{5}$$

$$\frac{X_1}{\delta_{st}}=\frac{1}{[1+\frac{k_2}{k_1}-(\frac{\omega}{\omega_1})^2][1-(\frac{\omega}{\omega_2})^2]-\frac{k_2}{k_1}} \tag{6}$$

 

 

 감쇠기를 가진 동흡진기

비감쇠 동흡진기에서는 흡진기의 질량이 장착됨에 따라

 

새로운 공진점에 발생하여 총 두개의 공진점에 생기게 됩니다.

 

따라서 기계가 시동되는 과정에서 첫번째 공진 점을 통과할 때 큰 진폭이 발생할 수 있습니다.

 

이 진동을 감소시킬 필요가 있을 경우 감쇠기를 가진 동흡진기를 사용하게 됩니다.

감쇠기를 가진 동흡진기 자유물체도 예시

위 시스템의 응답에 대해서도 분석해봅시다.

 

두 질량에 대한 운동방정식은 아래와 같습니다.

 

$$m_1\ddot{x}_1+k_1x_1+k_2(x_1-x_2)+c_2(\dot{x}_1-\dot{x}_2)=F_0\sin\omega t \tag{7}$$

$$m_2\ddot{x}_2+k_2(x_2-x_1)+c_2(\dot{x}_2-\dot{x}_1)=0 \tag{8}$$

 

식 (7), 식(8)의 해를 아래와 같은 형태로 가정합니다.

 

$$x_j(t) = X_j e^{i\omega t}, j=1,2$$

 

가정된 해를 식 (7), (8)에 대입하여 진폭 $X_j$를 구하면 아래와 같습니다.

 

$$X_1 = \frac{F_0(k_2-m_2\omega^2+ic_2\omega)}{[(k_1-m_1\omega^2)(k_2-m_2\omega^2)-m_2k_2\omega^2]+i\omega c_2(k_1-m_1\omega^2-m_2\omega^2)}$$

$$X_2 = \frac{X_1(k_2+i\omega c_2)}{(k_2-m_2\omega^2+i\omega c_2)}$$

 

여기서 우리의 목적은 $X_1$의 크기를 줄이는 것입니다.

 

이 부분은 아직 이해가 부족하여 설명할 실력이 안되네요...

 

좀 더 공부가 되면 후에 풀이하도록 하겠습니다.

 

 

여기까지 동흡진기에 대해 알아보았습니다.