이번 포스팅에서는 응력 - 변형률 관계에 대해 알아보겠습니다.
3차원 응력 - 변형률 관계
육면체 요소가 존재한다고 가정했을 때, Hooke's law에 의하여
각 수직변형률, 전단변형률은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.
ϵx=σxE−νσyE−νσzE
ϵy=−νσxE+σyE−νσzE
ϵz=−νσxE−νσyE+σzE
γyz=τyzG
γxz=τxzG
γxy=τxyG
여기서 G=E2(1+ν)이고 E는 탄성계수(young's modulus)입니다.
위 변형률 식에서 수직변형률을 모두 더하여 아래와 같은 식을 도출해낼 수 있는데
ϵx+ϵy+ϵz=1−2νE(σx+σy+σz)
응력-변형률 관계를 이용하여 σx에 대해 나타내면 아래와 같습니다.
σx=E(1+ν)(1−2ν)[(1−ν)ϵx+νϵy+νϵz
같은 방법으로 σy,σz,τyz,τxz,τxy에 대해 나타내어
매트릭스의 형태 σ=Dϵ로 나타내면 아래와 같습니다.
σ=[σx,σy,σz,τyz,τxz,τxy]T
ϵ=[ϵx,ϵy,ϵz,γyz,γxz,γxy]T
D=E(1+ν)(1−2ν)[1−ννν000ν1−νν000νν1−ν0000000.5−ν0000000.5−ν0000000.5−ν]
1, 2차원 응력-변형률 관계
위에서 나타낸 3차원 응력-변형률 관계는 좀 더 일반적으로 사용할 수 있지만 복잡합니다.
경우에 따라 1, 2차원으로 단순하게 표현하는 것이 알아보기도 쉽고 계산에 효율적일 때가 있죠.
그래서 1, 2차원 응력-변형률 관계에 대해서도 알아보겠습니다.
1차원 응력-변형률 관계
1차원 응력-변형률 관계는 아래와 같이 정의됩니다.
σ=Eϵ
재료역학 초반부에 배우는 hooke's law 그대로의 식입니다. 쉽죠?
2차원 응력-변형률 관계
2차원 응력-변형률 관계는 두 종류로 정의할 수 있습니다.
평면 응력(plane stress) 상태
얇은 판과 같은 구조물은 두께가 거의 0에 가까워
두께 방향으로 힘을 받지 못하고 굽어지는 구조물입니다.
따라서 두께방향으로 작용하는 응력이 없다고 가정할 수 있으므로
자유도를 축소하여 2차원으로 가정할 수 있습니다.
즉, σz=τxz=τyz=0로 가정하는 것입니다.
그렇게 되면 hooke's law에 따라서 아래와 같은 응력-변형률 관계를 가집니다.
ϵx=σxE−νσyE
ϵy=−νσxE+σyE
ϵz=−νE(σx+σy)
γxy=2(1+ν)Eτxy
위에서와 마찬가지로 σ=Dϵ의 형태로 나타내면 아래와 같습니다.
σ=[σx,σy,τxy]T
ϵ=[ϵx,ϵy,τxy]T
D=E1−ν2[1ν0ν10001−ν2]
평면 변형률(plane strain) 상태
긴 파이프와 같이 길이 방향으로 긴 구조물의 경우에는
두께 방향 변형률을 0이라 가정할 수 있습니다.
즉, ϵz=γzx=γyz=0으로 가정합니다.
따라서 σ=Dϵ의 응력-변형률의 관계를 나타내면 아래와 같습니다.
σ=[σx,σy,τxy]T
ϵ=[ϵx,ϵy,τxy]T
D=E(1+ν)(1−2ν)[1−νν0ν1−ν0001−ν2]
여기까지 응력-변형률 관계에 대해 알아보았습니다.
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