[유한요소법] 응력 - 변형률 관계(stress - strain relations)

이번 포스팅에서는 응력 - 변형률 관계에 대해 알아보겠습니다.

 

 3차원 응력 - 변형률 관계

육면체 요소가 존재한다고 가정했을 때, Hooke's law에 의하여

 

각 수직변형률, 전단변형률은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

 

$$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E}-\nu\frac{\sigma_y}{E}-\nu\frac{\sigma_z}{E}$$

$$\epsilon_y = -\nu\frac{\sigma_x}{E}+\frac{\sigma_y}{E}-\nu\frac{\sigma_z}{E}$$

$$\epsilon_z = -\nu\frac{\sigma_x}{E}-\nu\frac{\sigma_y}{E}+\frac{\sigma_z}{E}$$

$$\gamma_{yz} = \frac{\tau_{yz}}{G}$$

$$\gamma_{xz} = \frac{\tau_{xz}}{G}$$

$$\gamma_{xy} = \frac{\tau_{xy}}{G}$$

 

여기서 $G=\frac{E}{2(1+\nu)}$이고 $E$는 탄성계수(young's modulus)입니다.

 

위 변형률 식에서 수직변형률을 모두 더하여 아래와 같은 식을 도출해낼 수 있는데

 

$$\epsilon_x+\epsilon_y+\epsilon_z=\frac{1-2\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y+\sigma_z)$$

 

응력-변형률 관계를 이용하여 $\sigma_x$에 대해 나타내면 아래와 같습니다.

 

$$\sigma_x = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}[(1-\nu)\epsilon_x+\nu\epsilon_y+\nu\epsilon_z$$

 

같은 방법으로 $\sigma_y, \sigma_z, \tau_{yz}, \tau_{xz}, \tau{xy}$에 대해 나타내어

 

매트릭스의 형태 $\sigma = D\epsilon$로 나타내면 아래와 같습니다.

 

$$\sigma = [\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \tau_{yz}, \tau_{xz}, \tau_{xy}]^T$$

 

$$\epsilon = [\epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z, \gamma_{yz}, \gamma_{xz}, \gamma_{xy}]^T$$

 

$$D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & 1-\nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\ \nu & \nu & 1-\nu & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0.5-\nu & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5-\nu & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0.5-\nu \end{bmatrix}$$

 

 1, 2차원 응력-변형률 관계

위에서 나타낸 3차원 응력-변형률 관계는 좀 더 일반적으로 사용할 수 있지만 복잡합니다.

 

경우에 따라 1, 2차원으로 단순하게 표현하는 것이 알아보기도 쉽고 계산에 효율적일 때가 있죠.

 

그래서 1, 2차원 응력-변형률 관계에 대해서도 알아보겠습니다.

 

1차원 응력-변형률 관계

 

1차원 응력-변형률 관계는 아래와 같이 정의됩니다.

 

$$\sigma = E\epsilon$$

 

재료역학 초반부에 배우는 hooke's law 그대로의 식입니다. 쉽죠?

 

2차원 응력-변형률 관계

 

2차원 응력-변형률 관계는 두 종류로 정의할 수 있습니다.

 

평면 응력(plane stress) 상태

 

얇은 판과 같은 구조물은 두께가 거의 0에 가까워

 

두께 방향으로 힘을 받지 못하고 굽어지는 구조물입니다.

 

따라서 두께방향으로 작용하는 응력이 없다고 가정할 수 있으므로

 

자유도를 축소하여 2차원으로 가정할 수 있습니다.

 

즉, $\sigma_z=\tau_{xz}=\tau_{yz}=0$로 가정하는 것입니다.

 

그렇게 되면 hooke's law에 따라서 아래와 같은 응력-변형률 관계를 가집니다.

 

$$\epsilon_x = \frac{\sigma_x}{E} - \nu\frac{\sigma_y}{E}$$

 

$$\epsilon_y = -\nu\frac{\sigma_x}{E} + \frac{\sigma_y}{E}$$

 

$$\epsilon_z = -\frac{\nu}{E}(\sigma_x+\sigma_y)$$

 

$$\gamma_{xy} = \frac{2(1+\nu)}{E}\tau_{xy}$$

 

위에서와 마찬가지로 $\sigma=D\epsilon$의 형태로 나타내면 아래와 같습니다.

 

$$\sigma = [\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}]^T$$

 

$$\epsilon = [\epsilon_x, \epsilon_y, \tau_{xy}]^T$$

 

$$D = \frac{E}{1-\nu^2}\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}$$

 

평면 변형률(plane strain) 상태

 

긴 파이프와 같이 길이 방향으로 긴 구조물의 경우에는

 

두께 방향 변형률을 0이라 가정할 수 있습니다.

 

즉, $\epsilon_z=\gamma_{zx}=\gamma_{yz}=0$으로 가정합니다.

 

따라서 $\sigma=D\epsilon$의 응력-변형률의 관계를 나타내면 아래와 같습니다.

 

$$\sigma = [\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}]^T$$

 

$$\epsilon = [\epsilon_x, \epsilon_y, \tau_{xy}]^T$$

 

$$D = \frac{E}{(1+\nu)(1-2\nu)}\begin{bmatrix} 1-\nu & \nu & 0 \\ \nu & 1-\nu & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} \end{bmatrix}$$

 

 

여기까지 응력-변형률 관계에 대해 알아보았습니다.