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공학/유한요소법

[유한요소법] 응력 - 변형률 관계(stress - strain relations)

슬기나무 2021. 9. 7. 21:12
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이번 포스팅에서는 응력 - 변형률 관계에 대해 알아보겠습니다.

 

 3차원 응력 - 변형률 관계

육면체 요소가 존재한다고 가정했을 때, Hooke's law에 의하여

 

각 수직변형률, 전단변형률은 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

 

ϵx=σxEνσyEνσzE

ϵy=νσxE+σyEνσzE

ϵz=νσxEνσyE+σzE

γyz=τyzG

γxz=τxzG

γxy=τxyG

 

여기서 G=E2(1+ν)이고 E는 탄성계수(young's modulus)입니다.

 

위 변형률 식에서 수직변형률을 모두 더하여 아래와 같은 식을 도출해낼 수 있는데

 

ϵx+ϵy+ϵz=12νE(σx+σy+σz)

 

응력-변형률 관계를 이용하여 σx에 대해 나타내면 아래와 같습니다.

 

σx=E(1+ν)(12ν)[(1ν)ϵx+νϵy+νϵz

 

같은 방법으로 σy,σz,τyz,τxz,τxy에 대해 나타내어

 

매트릭스의 형태 σ=Dϵ로 나타내면 아래와 같습니다.

 

σ=[σx,σy,σz,τyz,τxz,τxy]T

 

ϵ=[ϵx,ϵy,ϵz,γyz,γxz,γxy]T

 

D=E(1+ν)(12ν)[1ννν000ν1νν000νν1ν0000000.5ν0000000.5ν0000000.5ν]

 

 1, 2차원 응력-변형률 관계

위에서 나타낸 3차원 응력-변형률 관계는 좀 더 일반적으로 사용할 수 있지만 복잡합니다.

 

경우에 따라 1, 2차원으로 단순하게 표현하는 것이 알아보기도 쉽고 계산에 효율적일 때가 있죠.

 

그래서 1, 2차원 응력-변형률 관계에 대해서도 알아보겠습니다.

 

1차원 응력-변형률 관계

 

1차원 응력-변형률 관계는 아래와 같이 정의됩니다.

 

σ=Eϵ

 

재료역학 초반부에 배우는 hooke's law 그대로의 식입니다. 쉽죠?

 

2차원 응력-변형률 관계

 

2차원 응력-변형률 관계는 두 종류로 정의할 수 있습니다.

 

평면 응력(plane stress) 상태

 

얇은 판과 같은 구조물은 두께가 거의 0에 가까워

 

두께 방향으로 힘을 받지 못하고 굽어지는 구조물입니다.

 

따라서 두께방향으로 작용하는 응력이 없다고 가정할 수 있으므로

 

자유도를 축소하여 2차원으로 가정할 수 있습니다.

 

즉, σz=τxz=τyz=0로 가정하는 것입니다.

 

그렇게 되면 hooke's law에 따라서 아래와 같은 응력-변형률 관계를 가집니다.

 

ϵx=σxEνσyE

 

ϵy=νσxE+σyE

 

ϵz=νE(σx+σy)

 

γxy=2(1+ν)Eτxy

 

위에서와 마찬가지로 σ=Dϵ의 형태로 나타내면 아래와 같습니다.

 

σ=[σx,σy,τxy]T

 

ϵ=[ϵx,ϵy,τxy]T

 

D=E1ν2[1ν0ν10001ν2]

 

평면 변형률(plane strain) 상태

 

긴 파이프와 같이 길이 방향으로 긴 구조물의 경우에는

 

두께 방향 변형률을 0이라 가정할 수 있습니다.

 

즉, ϵz=γzx=γyz=0으로 가정합니다.

 

따라서 σ=Dϵ의 응력-변형률의 관계를 나타내면 아래와 같습니다.

 

σ=[σx,σy,τxy]T

 

ϵ=[ϵx,ϵy,τxy]T

 

D=E(1+ν)(12ν)[1νν0ν1ν0001ν2]

 

 

여기까지 응력-변형률 관계에 대해 알아보았습니다.

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