[유한요소법] 최소 포텐셜 에너지의 원리(principle of minimum potential energy)

이번 포스팅에서는 최소 포텐셜 에너지의 원리에 대해 알아보겠습니다.

 

 최소 포텐셜 에너지의 원리(principle of minimum potential energy)

최소 포텐셜 에너지의 원리란,

 

보존계에서 탄성체는 포텐셜 에너지를 최소화하는 방향으로 변형한다는 것입니다.

 

그 결과 물체는 안정적인 평형상태에 놓이게 됩니다.

 

우리는 이 원리를 이용해서 탄성계의 운동방정식을 유도할 수 있습니다.

 

 최소 포텐셜 에너지의 원리 예제

출처: Introduction to Finite Elements in Engineering, 4th Ed.

위 그림과 같은 탄성계를 고려해봅시다.

 

스프링 변형에 의한 potential energy 및 force에 의한 일을 고려하여

 

total energy를 구하면 아래와 같습니다.

 

$$E = \frac{1}{2}k_1(q_1-q_2)^2+\frac{1}{2}k_2q_2^2+\frac{1}{2}k_3(q_3-q_2)^2+\frac{1}{2}k_4q_3^2-F_1q_1-F_3q_3 \tag{1}$$

 

최소 포텐셜 에너지의 원리에 의해 계의 평형상태에서 포텐셜 에너지는 최소값을 가지므로

 

식 (1)을 미분한 결과는 0이 되어야 합니다.

 

즉,

 

$$\frac{\partial E}{\partial q_i}=0, i=1,2,3$$

 

따라서 각 좌표에 대하여 편미분하면

 

$$\frac{\partial E}{\partial q_1}=k_1(q_1-q_2)-F_1=0$$

$$\frac{\partial E}{\partial q_2}=-k_1(q_1-q_2)+k_2q_2-k_3(q_3-q_2)=0$$

$$\frac{\partial E}{\partial q_3}=k_3(q_3-q_2)+k_4q_3-F_3=0$$

 

위 식을 이용하여 $Kq=F$형태의 운동방정식을 나타내면 아래와 같습니다.

 

$$\begin{bmatrix} k_1 & -k_1 & 0 \\ -k_1 & k_1+k_2+k_3 & -k_3 \\ 0 & -k_3 & k_3+k_4 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} F_1 \\ 0 \\ F_3 \end{Bmatrix} $$

 

 

여기까지 최소 포텐셜 에너지의 원리가 무엇인지와

 

예제를 통해 운동방정식을 구하는 과정까지 알아보았습니다.