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이번 포스팅에서는 최소 포텐셜 에너지의 원리에 대해 알아보겠습니다.
최소 포텐셜 에너지의 원리(principle of minimum potential energy)
최소 포텐셜 에너지의 원리란,
보존계에서 탄성체는 포텐셜 에너지를 최소화하는 방향으로 변형한다는 것입니다.
그 결과 물체는 안정적인 평형상태에 놓이게 됩니다.
우리는 이 원리를 이용해서 탄성계의 운동방정식을 유도할 수 있습니다.
최소 포텐셜 에너지의 원리 예제

위 그림과 같은 탄성계를 고려해봅시다.
스프링 변형에 의한 potential energy 및 force에 의한 일을 고려하여
total energy를 구하면 아래와 같습니다.
E=12k1(q1−q2)2+12k2q22+12k3(q3−q2)2+12k4q23−F1q1−F3q3
최소 포텐셜 에너지의 원리에 의해 계의 평형상태에서 포텐셜 에너지는 최소값을 가지므로
식 (1)을 미분한 결과는 0이 되어야 합니다.
즉,
∂E∂qi=0,i=1,2,3
따라서 각 좌표에 대하여 편미분하면
∂E∂q1=k1(q1−q2)−F1=0
∂E∂q2=−k1(q1−q2)+k2q2−k3(q3−q2)=0
∂E∂q3=k3(q3−q2)+k4q3−F3=0
위 식을 이용하여 Kq=F형태의 운동방정식을 나타내면 아래와 같습니다.
[k1−k10−k1k1+k2+k3−k30−k3k3+k4]{q1q2q3}={F10F3}
여기까지 최소 포텐셜 에너지의 원리가 무엇인지와
예제를 통해 운동방정식을 구하는 과정까지 알아보았습니다.
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