[재료역학] 평면응력(plane stress) 및 경사면에서의 응력

이번 포스팅에서는 평면응력이 무엇인지,

 

그리고 경사면에서의 응력은 어떻게 구하는지에 대해 알아보겠습니다.

 

 평면응력(plane stress)

재료의 $x, y$면에만 응력이 작용하고

 

모든 응력은 $x$축 및 $y$축에 평행하고 작용한다고 했을 때,

 

이러한 응력의 상태를 평면응력상태라고 합니다.

 

평면응력은 인장과 압축을 받는 봉, 비틀림을 받는 축 등을 해석할 때 유용합니다.

 

 경사면에서의 응력

경사면에서의 응력을 설명하기 위해서는 아래와 같은 사각형 요소를 고려해야 합니다.

위 그림에서 요소가 $\theta$만큼 기울었을 때

경사단면에 작용하는 응력을 구해봅시다.

 

$\theta$만큼 기울어진 상태의 응력은 이미 알고있는 $\sigma _{x}, \sigma _{y}, \tau _{xy}$를 이용해

 

구할 수 있습니다.

 

$\theta$만큼 기울어진 $x, y$축에 대하여 평형방정식을 구하면 아래와 같습니다.

 

$$\sigma _{x, \theta} \sec \theta - \sigma _{x} \cos \theta - \tau _{xy} \sin \theta - \sigma _{y} \tan \theta \sin \theta - \tau _{yx} \tan \theta \cos \theta = 0 \tag{1}$$

 

$$\tau _{xy, \theta} \sec \theta + \sigma _{x} \sin \theta - \tau _{xy} \cos \theta - \sigma _{y} \tan \theta \cos \theta + \tau _{xy} \tan \theta \sin \theta = 0 \tag{2}$$

 

위 식에 대해 $\tau _{xy} = \tau _{yx}$의 관계 및 삼각함수 공식을 이용하여

 

간단히 정리하면 아래와 같이 정리됩니다.

 

$$\sigma _{x, \theta} = \frac{\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}+\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\cos 2\theta + \tau _{xy}\sin 2\theta \tag{3}$$

$$\tau _{xy, \theta} = -\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2} \sin 2\theta + \tau _{xy}\cos 2\theta \tag{4}$$

 

경사면에서의 $y$축 성분 응력은

 

식 (3)에 $\theta$ 대신 $\theta + \pi/2$를 대입하여 구할 수 있습니다.

 

$$\sigma _{y, \theta} = \frac{\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}-\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\cos 2\theta - \tau _{xy} \sin 2\theta \tag{5}$$

 

식 (3)과 식 (5)를 더하면 평면응력에 대한 아래의 식을 구할 수도 있습니다.

 

$$\sigma _{x, \theta} + \sigma _{y, \theta} = \sigma _{x} + \sigma _{y}$$

 

 

 

여기까지 평면응력 및 경사면에서의 응력에 대해 알아보았습니다.