[재료역학] 비틀림(Torsion)

이번 포스팅에서는 비틀림(Torsion)에 대하여 알아보겠습니다.

 

 비틀림(Torsion)

비틀림이란 봉의 길이방향 축에 대해 회전을 일으키려하는

 

모멘트에 의해 가해지는 현상을 말합니다.

비틀림

만약 재료가 선형 탄성이면, 전단에 대한 훅의 법칙을 사용하여

 

비틀림 현상을 표현할 수 있습니다.

 

 선형 탄성(linear elastic) 봉의 비틀림(torsion)

위에서 언급한대로,

 

만약 재료가 선형 탄성이면 전단에 대한 훅의 법칙을 사용할 수 있습니다.

 

$$\tau = G\gamma$$

 

여기서 $G$는 전단탄성계수이고 $\gamma$는 전단변형률입니다.

 

전단변형률을 좀 더 풀어서 식을 쓰면 아래와 같습니다.

 

$$\tau _{max} = Gr\theta$$

$$\tau = G\rho\theta = \frac{\rho}{r}\tau _{max}$$

 

여기서 $\tau _{max}$는 봉의 바깥표면에서의 전단응력이고

 

$\tau$는 내부 임의의 점에서 전단응력이며, $\theta$는 비틀림변화율입니다.

 

 비틀림(Torsion) 공식

전단응력을 알았으니, 우리는 전단응력과 토크 사이의 관계를 유도할 수 있습니다.

 

과정을 간단히 말하자면, 전단응력에 단면적을 곱하고, 모멘트 암을 곱해주면 됩니다.

 

우선 모멘트 요소는 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

 

$$dM = \tau\rho dA = \frac{\tau _{max}}{r} \rho ^{2} dA$$

 

이를 단면적에 대해 걸쳐 적분해주면 모멘트가 되겠죠.

 

$$T = \int_{A}^{} dM =\frac{\tau _{max}}{r} \int_{A}^{} \rho ^{2} dA = \frac{\tau _{max}}{r} I_{P}$$

 

여기서 $I_{P}=\int_{A}^{} \rho ^{2} dA$로써, 극관성모멘트를 나타냅니다.

 

극관성모멘트에 대한 내용은 아래 포스팅에 남겨두었으니 참고하세요.

[재료역학] 관성모멘트(Moment of inertia), 극관성모멘트(Polar moment of inertia)

 

 비틀림각

토크 $T$를 구했으니, 이를 비틀림각과 관련지을 수 있습니다.

 

위에서 $\tau _{max} = Gr\theta$라 했고, $T=\frac{\tau _{max}}{r} I_{P}$이므로

 

대입하여 $\theta$에 대하여 정리하면 아래와 같이 비틀림각을 구할 수 있습니다.

 

$$\theta = \frac{T}{GI_{P}}$$

 

여기서 $\theta$는 비틀림변화율, 즉 단위 길이 당 라디안이므로

 

순수 비틀림을 받는 봉에서 총 비틀림 각 $\phi = \theta L$에 대하여 나타내면

 

아래와 같습니다.

 

$$\phi = \frac{TL}{GI_{P}}$$

 

 

 

여기까지 비틀림에 대해 알아보았습니다.