[재료역학] 경사면에서의 응력

이번 포스팅에서는 경사면에서의 응력이 어떤지에 대해 알아보겠습니다.

 

 경사면에서의 응력요소

축하중을 받는 봉에 작용하는 응력의 상태를 표현할 때,

 

경사면에서는 어떤지에 대해서도 파악할 필요가 있습니다.

 

그림 1. 경사면에서의 응력

절단면에 작용하는 응력을 나타낼 때에는

 

경사면이 기울어진 각 $\theta$에 대해 나타낼 수 있습니다.

 

 경사면에서의 응력 계산

그림 1에서의 단면 $pq$에 작용하는 응력을 구해보도록 하죠.

 

경사면 $pq$에 수직으로 작용하는 수직력 $N$과

 

접선방향으로 작용하는 전단력 $V$는 아래와 같이 계산됩니다.

 

$$N=P\cos\theta \tag{1}$$

$$V=-P\sin\theta \tag{2}$$

 

그리고 수직응력은 수직력 $N$을 단면적으로 나눈 것과 같고,

 

전단응력은 전단력 $V$를 단면적으로 나눈것과 같습니다.

$$\sigma _{\theta}=\frac{N}{A_{\theta}} \tag{3}$$

$$\tau _{\theta} = -\frac{V}{A_{\theta}} \tag{4}$$

 

단면적은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

 

$$A_{\theta} = \frac{A}{\cos\theta} \tag{5}$$

 

여기서 전단력과 전단응력은 부호규약에 따라 (-)를 붙였습니다.

 

이제 식 (1), (2), (5)를 식 (3), (4)에 각각 대입하여 풀어봅시다.

 

$$\sigma _{\theta}=\frac{N}{A_{\theta}}=\frac{P}{A}\cos ^{2}\theta \tag{6}$$

$$\tau _{\theta} = -\frac{V}{A_{\theta}}=-\frac{P}{A}\sin\theta\cos\theta \tag{7}$$

 

이 때, $P/A=\sigma _{x}$이고, $\cos ^{2}\theta = \frac{1}{2}(1+\cos 2\theta)$, $\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta$이므로

 

결과적으로 경사면에서의 수직응력 및 전단응력은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

 

$$\sigma _{\theta} = \frac{\sigma _{x}}{2}(1+\cos 2\theta)$$

$$\tau _{\theta} = -\frac{\sigma _{x}}{2}\sin 2\theta$$

 

 

여기까지 경사면에서의 응력에 대해 알아보았습니다.