[재료역학] 부정정(statically indeterminate) 구조물

이번 포스팅에서는 부정정(statically indeterminate) 구조물이 무엇인지에 대해 알아보겠습니다.

 

 부정정(statically indeterminate) 구조물 이란?

대개 스프링, 봉 등에 작용하는 하중에 대해

 

반력과 내부 축력 등은 자유물체도와 평형방정식만으로 구할 수 있습니다.

 

이러한 상태의 구조물을 정정(statically determinate) 구조물이라 합니다.

 

예시 1. 정정(statically determinate) 구조물 예시

 

이러한 구조물의 힘은 재료의 성질을 알지 못하더라도 구할 수 있죠.

 

하지만 대부분의 현장에서 구조물은 이보다 복잡하며, 

 

그들의 반력과 내부 축력 등은 정역학만으론 구할 수 없습니다.

 

이러한 구조물을 부정정(statically indeterminate) 구조물이라 하며,

 

아래의 예시와 같습니다.

 

예시 2. 부정정(statically indeterminate) 구조물 예시

위 구조물에 하중 $P$가 작용한다고 할 때,

 

작용하는 하중 $P$에 의해 발생하는 반력은 $R_{1}, R_{2}$ 입니다.

 

구해야할 미지수가 2개인 것이죠.

 

하지만 정역학만으로는 여기서 수직방향의 평형방정식 1개밖에 사용할 수 없습니다.

 

$$\sum F_{vertical} = 0 :     R_{1} + R_{2} - P = 0 $$

 

따라서 두개의 미지의 반력을 구하기 위해서는 추가적인 방정식이 필요합니다.

 

 기하학적 적합성 : 적합 방정식(equation of compatibility)

부정정 구조물의 하중 문제를 풀기 위한 추가적인 방정식이 무엇일까요?

 

바로 기하학적 적합성을 만족하기 위한 적합 방정식(equation of compatibility)입니다.

 

예시 2.의 구조물의 경우,

 

양단이 고정된 봉은 길이의 변화가 없다는 사실을 우리는 알 수 있습니다.

 

즉, 세가지 하중 $R_{1}, R_{2}, P$를 받고 있는 변위가 0인 봉인 셈이죠.

 

힘 $P$가 작용하는 지점을 하첨자 3으로 나타내겠습니다.

 

그러면 변위가 0인 봉을 아래와 같은 식으로 나타낼 수 있습니다.

 

$$\delta _{12} = \delta _{13}+\delta _{23} = 0$$

 

여기서 우리는 봉에 작용하는 힘-변위 관계식을 끌어낼 수 있습니다.

 

봉이 단면적 $A_{1}, A_{2}$를 가지고 길이가 각각 $a, b$이며,

 

탄성계수는 재료가 같아 $E$인 재료라고 가정하면

 

$$ \delta _{13} = \frac{R_{1}a}{EA_{1}}$$

$$ \delta _{23} = - \frac{R_{2}b}{EA_{2}}$$

 

즉, $ \frac{R_{1}a}{EA_{1}} - \frac{R_{2}b}{EA_{2}} = 0$ 이므로

 

여기서 우리는 아래와 같은 하나의 방정식을 도출해낼 수 있습니다.

 

$$ R_{1} = \frac{EA_{1}}{a} \frac{R_{2}b}{EA_{2}}$$

 

이것을 적합방정식(equation of compatibility)라 합니다.

 

이렇게 정역학을 통해 얻은 평형방정식 + 적합방정식으로

 

부정정 구조물에 대한 문제를 풀 수 있습니다.