[재료역학] 충격하중

이번 포스팅에서는 충격하중 시 봉의 최대 변형량과

 

응력에 대해 알아보겠습니다.

 

 충격하중이 작용할 때의 변위

봉 AB에 작용하는 충격하중 M

충격하중이 작용할 때 발생하는 봉의 최대 변위는

 

낙하질량에 의한 포텐셜 에너지 손실과 봉의 최대 변형에너지가

 

같다고 하는 에너지 보존 법칙으로부터 구할 수 있습니다.

 

포텐셜 에너지 손실은

 

$$E_{potential} = Mg(h+\delta _{max})=W(h+\delta _{max}) \tag{1}$$

 

봉의 최대 변형에너지는

 

$$E_{deform} = \frac{EA\delta _{max}^{2}}{2L} \tag{2}$$

 

여기서 식 (1)과 (2)가 같으므로,

 

$$W(h+\delta _{max})=\frac{EA\delta _{max}^{2}}{2L}$$

 

이는 $\delta _{max}$에 관한 2차방정식이므로, 그 방정식을 풀면 결과는 아래와 같습니다.

 

$$\delta _{max}=\frac{WL}{EA}+[(\frac{WL}{EA})^{2}+2h(\frac{WL}{EA})]^{1/2} \tag{3}$$

 

여기서 정하중이 작용할 때의 변위를 이용해 식을 간단히 하면

 

정하중이 작용할 때의 $\delta _{st}$는

 

$$\delta _{st} = \frac{WL}{EA} \tag{4}$$

 

따라서 식 (4)를 식 (3)에 대입하여 정리하면 아래와 같습니다.

 

$$\delta _{max} = \delta _{st}+ (\delta _{st} ^{2} + 2h\delta _{st})^{1/2}$$

$$\delta _{max} = \delta _{st}[1+(1+\frac{2h}{\delta _{st}})^{1/2}]$$

 

 

 충격하중이 작용할 때의 응력

앞에서 변위를 구했으니, 훅의 법칙에 의해 응력은 쉽게 구할 수 있습니다.

 

$\delta = \frac{PL}{EA}=\frac{\sigma L}{E}$이므로, 대입하면

 

$$\sigma _{max}=\frac{W}{A}+[(\frac{W}{A})^{2}+\frac{2WhE}{AL}]^{1/2} \tag{5}$$

 

이 때, $\sigma _{st} = \frac{W}{A}$이므로, 식 (5)에 대입하여 정리하면

 

$$ \sigma _{max} = \sigma _{st} + (\sigma _{st} ^{2} + \frac{2hE}{L}\sigma _{st})^{1/2}$$

$$ \sigma _{max} = \sigma _{st}[1+(1+\frac{2hE}{L\sigma _{st}})^{1/2}]$$

 

위와 같이 충격하중이 작용할 때의 최대 응력을 구할 수 있습니다.

 

 

 충격계수(Impact factor)

위와 같이 구조물의 정적 반응에 대한 동적 반응의 비를

 

충격계수(impact factor)라고 하며, 그 값은 아래와 같이 정의됩니다.

 

$$ 충격계수 = \frac{\delta _{max}}{\delta _{st}}$$

 

 

 

여기까지 충격하중이 작용할 때 구조물의 최대 변위 및 응력에 대해 알아보았습니다.