[재료역학] 순수전단(pure shear)

이번 포스팅에서는 순수전단(pure shear) 상태에 대해 알아보겠습니다.

 

 순수전단(Pure shear)

우리는 비틀림을 받는 봉의 두 단면 사이를 잘라낸 응력요소를 고려하기 위해

 

순수전단(pure shear) 상태에 있는 구조물을 고려할 필요가 있습니다.

 

순수전단 상태에 있는 요소에 작용하는 유일한 응력은 

 

아래 그림과 같이 네개 측면 위의 전단응력 $\tau$입니다.

 

순수전단 응력 상태의 봉

여기서는 수직응력은 인장일 때 양(+),

 

전단응력은 수직면에 재료를 반시계방향으로

 

회젼시키려고 하는 힘을 양(+)으로 정의하겠습니다.

 

 경사면에서의 응력

순수전단 상태에서는 응력 요소의 앞면과 뒷면에는 아무런 응력도 작용하지 않습니다.

 

따라서 모든 응력을 나타내면 아래그림과 같습니다.

경사면에서의 응력을 알고 싶을 때,

 

우리는 위 삼각형 요소의 힘의 평형으로부터 구할 수 있습니다.

 

$\sigma _{\theta}$ 방향의 힘의 평형 방정식으로부터

 

$$\sigma _{\theta} \sec \theta = \tau \sin \theta + \tau \tan \theta \cos \theta$$

$$\sigma _{\theta} = 2\tau \sin \theta \cos \theta $$

$$ \therefore \sigma _{\theta} = \tau \sin 2\theta$$

 

그리고 $\tau _{\theta}$ 방향의 힘의 평형 방정식으로부터

 

$$\tau _{\theta} \sec \theta = \tau \cos \theta - \tau \tan \theta \sin \theta $$

$$ \tau _{\theta} = \tau (\cos ^{2} \theta - \sin ^{2} \theta )$$

$$ \therefore \tau _{\theta} = \tau \cos 2\theta$$

 

 순수전단에서의 변형률

순수전단 상태에 있는 요소의 변형률은 어떨까요?

 

아래 그림에 순수전단 상태의 매우 과장된 요소의 그림이 있습니다.

$\theta =0$일 때의 전단뒤틀림(좌)과 $\theta = \pi/4$일 때의 전단뒤틀림(우)

여기서 $\gamma$는 전단변형률입니다.

 

1) $\theta = 0$일 때

 

재료가 선형탄성이면 $\theta = 0$인 위치의 요소에 대한 전단변형률은

 

훅의 법칙에 의해 아래와 같이 정의됩니다.

 

$$\gamma = \frac{\tau}{G}$$

 

여기서 $G$는 전단탄성계수입니다.

 

2) $\theta = \pi/4$일 때

 

위에서 순수전단 상태의 응력에 대해 알아보았던대로,

 

$\theta = \pi/4$일 땐 $\sigma _{\pi/4} = \tau$, $\tau _{\pi/4} = 0$이므로

 

전단응력이 작용하지않아 전단뒤틀림이 없는 상태입니다.

 

$\theta = \pi/4, \theta = 5\pi/4$인 경우 인장력이 작용하여

 

그 방향으로 $\sigma _{max}/E=\tau/E$와 같은 양의 수직변형률을 일으킬 것이고,

 

그의 수직인 방향으로 $-\nu\sigma _{max}/E=-\nu\tau/E$ 만큼의 음의 변형률을 일으킬 것입니다.

 

여기서 $\nu$는 푸아송 비입니다.

 

마찬가지로 $\theta = 3\pi/4, \theta = 7\pi/4$인 경우 압축력이 작용하여

 

그 방향으로 $-\sigma _{max}/E=-\tau/E$와 같은 음의 수직변형률을 일으킬 것 이며,

 

그의 수직인 방향으로 $\nu\sigma _{max}/E=\nu\tau/E$만큼의 양의 변형률을 일으킬 것입니다.

 

따라서, $\theta = \pi/4$인 방향에서의 수직변형률은 아래와 같이 계산됩니다.

 

$$\therefore \epsilon _{max} = \frac{\tau}{E}+\frac{\nu\tau}{E} = \frac{\tau}{E}(1+\nu)$$

 

 

여기까지 순수전단 상태에 대해 알아보았습니다.