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공학/재료역학

[재료역학] 순수전단(pure shear)

슬기나무 2021. 8. 8. 16:36
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이번 포스팅에서는 순수전단(pure shear) 상태에 대해 알아보겠습니다.

 

 순수전단(Pure shear)

우리는 비틀림을 받는 봉의 두 단면 사이를 잘라낸 응력요소를 고려하기 위해

 

순수전단(pure shear) 상태에 있는 구조물을 고려할 필요가 있습니다.

 

순수전단 상태에 있는 요소에 작용하는 유일한 응력은 

 

아래 그림과 같이 네개 측면 위의 전단응력 τ입니다.

 

순수전단 응력 상태의 봉

여기서는 수직응력은 인장일 때 양(+),

 

전단응력은 수직면에 재료를 반시계방향으로

 

회젼시키려고 하는 힘을 양(+)으로 정의하겠습니다.

 

 경사면에서의 응력

순수전단 상태에서는 응력 요소의 앞면과 뒷면에는 아무런 응력도 작용하지 않습니다.

 

따라서 모든 응력을 나타내면 아래그림과 같습니다.

경사면에서의 응력을 알고 싶을 때,

 

우리는 위 삼각형 요소의 힘의 평형으로부터 구할 수 있습니다.

 

σθ 방향의 힘의 평형 방정식으로부터

 

σθsecθ=τsinθ+τtanθcosθ

σθ=2τsinθcosθ

σθ=τsin2θ

 

그리고 τθ 방향의 힘의 평형 방정식으로부터

 

τθsecθ=τcosθτtanθsinθ

τθ=τ(cos2θsin2θ)

τθ=τcos2θ

 

 순수전단에서의 변형률

순수전단 상태에 있는 요소의 변형률은 어떨까요?

 

아래 그림에 순수전단 상태의 매우 과장된 요소의 그림이 있습니다.

θ=0일 때의 전단뒤틀림(좌)과 θ=π/4일 때의 전단뒤틀림(우)

여기서 γ는 전단변형률입니다.

 

1) θ=0일 때

 

재료가 선형탄성이면 θ=0인 위치의 요소에 대한 전단변형률은

 

훅의 법칙에 의해 아래와 같이 정의됩니다.

 

γ=τG

 

여기서 G는 전단탄성계수입니다.

 

2) θ=π/4일 때

 

위에서 순수전단 상태의 응력에 대해 알아보았던대로,

 

θ=π/4일 땐 σπ/4=τ, τπ/4=0이므로

 

전단응력이 작용하지않아 전단뒤틀림이 없는 상태입니다.

 

θ=π/4,θ=5π/4인 경우 인장력이 작용하여

 

그 방향으로 σmax/E=τ/E와 같은 양의 수직변형률을 일으킬 것이고,

 

그의 수직인 방향으로 νσmax/E=ντ/E 만큼의 음의 변형률을 일으킬 것입니다.

 

여기서 ν는 푸아송 비입니다.

 

마찬가지로 θ=3π/4,θ=7π/4인 경우 압축력이 작용하여

 

그 방향으로 σmax/E=τ/E와 같은 음의 수직변형률을 일으킬 것 이며,

 

그의 수직인 방향으로 νσmax/E=ντ/E만큼의 양의 변형률을 일으킬 것입니다.

 

따라서, θ=π/4인 방향에서의 수직변형률은 아래와 같이 계산됩니다.

 

ϵmax=τE+ντE=τE(1+ν)

 

 

여기까지 순수전단 상태에 대해 알아보았습니다.

 

 

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