[재료역학] 구형 압력용기(pressure vessel)에서의 응력

이번 포스팅에서는 압력용기에서의 응력에 대해 알아봅시다.

 

 구형 압력용기에서의 응력

구형 용기 내의 응력을 결정하기 위해

 

구를 수직 지름 평면으로 자르고, 용기의 절반과 내용물에 의한 압력을

 

자유물체도로 그리면 아래 그림과 같습니다.

내부에서 압력 $p$를 받고있는 두께 $t$, 반지름 $r$인 구형 압력용기

 

압력은 균일하게 작용하므로 반구 내에 남아있는 유체의

 

평면 원형 면적에 작용하는 힘 $P$는 아래와 같습니다.

 

$$P = p(\pi r^{2})$$

 

그리고 용기와 하중의 대칭성으로 인해 인장응력 $\sigma$는 원주방향으로 균일합니다.

 

그렇기 때문에 이를 이용하여 벽 내부에 작용하는 인장응력의 합력은

 

응력과 이 응력이 작용하는 면적을 곱한 것과 같습니다. 즉,

 

$$\sigma (2\pi r_{m}t)$$

 

여기서 $t$는 벽의 두께이고, $r_{m}$은 $r+\frac{t}{2}$로써 용기의 평균 반지름입니다.

 

따라서 수평방향의 힘의 평형으로부터 아래와 같은 평형방정식을 구할 수 있습니다.

 

$$\sigma (2\pi r_{m}t) - p(\pi r^{2})=0$$

 

위 식으로부터 용기 벽 내분의 인장응력을 구할 수 있습니다.

 

$$\sigma = \frac{pr^{2}}{2r_{m}t}$$

 

만약 두께가 매우 얇다면 평균 반지름 $r_{m}$대신 $r$ 을 사용할 수 있으므로,

 

얇은 구형 용기의 벽 내부에 발생하는 인장응력은 최종적으로 아래와 같습니다.

 

$$\sigma = \frac{pr}{2t}$$

 

이 때 최대 전단응력은 수평인 $x$축 및 수직인 $y$축과 45도를 이루는 요소에서

 

구할 수 있으며, 이 요소의 최대 전단응력은 $\tau _{max} = \sigma /2$ 입니다.

 

따라서 최대 전단응력은 아래와 같습니다.

 

$$\tau _{max} = \frac{\sigma}{2} = \frac{pr}{4t}$$