[재료역학] 모어 원(Mohr's circle)

이번 포스팅에서는 모어 원(Mohr's circle)에 대해 알아봅시다.

 

 모어 원(Mohr's circle)

평면응력에서의 변환 공식은 모어원으로 쉽게 나타낼 수 있습니다.

 

모어 원은 응력을 받는 점에서 여러 경사면에 작용하는

 

수직 및 전단응력의 관계를 그림으로 보여주기 때문에

 

이해하는데에 매우 쉽습니다.

모어 원 예시. 출처: wolsong.koreasmc.co.kr

 

 모어 원의 방정식

모어 원의 방정식은 평면응력을 다뤘던 공식을 변형하여 구할 수 있습니다.

 

[재료역학] 평면응력(plane stress) 및 경사면에서의 응력

$$\sigma _{x, \theta} = \frac{\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}+\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\cos 2\theta + \tau _{xy}\sin 2\theta \tag{1}$$

$$\tau _{xy, \theta} = -\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2} \sin 2\theta + \tau _{xy}\cos 2\theta \tag{2}$$

 

식 (1), (2)는 평면응력 상태에서 경사면에서의 응력을 나타낸 공식입니다.

 

이 두 식을 살짝 변형시키면,

 

$$\sigma _{x, \theta} - \frac{\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2} = \frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}\cos 2\theta + \tau _{xy}\sin 2\theta \tag{3}$$

$$\tau _{xy, \theta} = -\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2} \sin 2\theta + \tau _{xy}\cos 2\theta \tag{4}$$

 

식 (3), (4)를 각각 제곱하여 더하면 $2\theta$에 관한 항은 소거되고

 

그 결과는 아래와 같습니다.

 

$$(\sigma _{x, \theta} - \frac{\sigma _{x}}{\sigma _{y}}{2})^{2} + \tau ^{2}_{xy, \theta} = (\frac{\sigma _{x} - \sigma _{y}}{2})^{2} + \tau ^{2} _{xy} \tag{5}$$

 

여기서 $\sigma _{avg} = \frac{\sigma _{x}}{\sigma _{y}}{2}$, $R = \sqrt{(\frac{\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2})^{2}+\tau ^{2} _{xy}}$라 하면

 

최종적으로 모어 원의 방정식은 아래와 같습니다.

 

$$ (\sigma _{x, \theta} - \sigma _{avg})^{2} + \tau ^{2} _{xy, \theta} = R^{2}$$

 

이제 위와 같은 원의 성질을 이용하여 경사면에서의 응력을 계산할 수 있습니다.