[재료역학] 원통형 압력용기에서의 응력

이번 포스팅에서는 원통형 압력용기에서의 응력에 대해 알아보겠습니다.

 

 원통형 압력용기에서의 응력

아래의 그림을 바탕으로 원주 방향과 길이 방향의 응력을 각각 구해봅시다.

 

원주 방향 응력

 

우선 용기의 벽에 작용하는 원주응력 $\sigma _{1}$과 내부 압력에 의한 합성력 $P_{1}$에 대해

 

평형방정식을 세워볼 수 있습니다.

원통형 압력용기에서의 응력. 출처 - Mechanics of materials, 7th Ed., Gere

 

$$\sigma _{1}(2bt)-2pbr=0$$

 

이 식으로부터 원통형 압력용기에서의 원주방향 응력을 구할 수 있습니다.

 

$$\sigma _{1} = \frac{pr}{t}$$

 

길이 방향 응력

 

길이 방향 응력 $\sigma _{2}$의 합력은 $\sigma _{2}(2\pi rt)$와 같고

 

내압에 의한 합력 $P_{2}=p\pi r^{2}$와 평형을 이루어야 합니다. 즉,

 

$$\sigma _{2}(2\pi rt) - p\pi r^{2} = 0$$

 

위 식으로부터 길이 방향 응력을 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

 

$$\sigma _{2} = \frac{pr}{2t}$$

 

각각 의 결과로 부터 우리는 원주 방향 응력이 길이 방향 응력의 2배임을 확인할 수 있습니다.

 

 

바깥 표면에서의 응력

 

바깥 표면에서의 최대 전단응력을 구해봅시다.

 

최대 전단응력은 3차원에서 각 축에 대해 45˚ 회전된 면에서 발생하며

 

수평인 길이방향을 x축, 수직인 원주방향을 y축이라 하면

 

z축에 대해 45˚ 회전된 면에서 발생하는 전단 응력은 아래와 같습니다.

 

$$\tau _{z, max} = \frac{\sigma _{1} - \sigma _{2}}{2} = \frac{pr}{4t}$$

 

x, y축에 대해 회전된 면에서 발생하는 전단응력은 아래와 같이 계산 됩니다.

 

$$\tau _{x, max} = \frac{\sigma _{1}}{2} = \frac{pr}{2t}$$

 

$$\tau _{y, max} = \frac{\sigma _{2}}{2} = \frac{pr}{4t}$$

 

위 결과를 비교하면 최대 전단응력은 x축(길이 방향 축)에 대해 45˚ 회전된 면에서 발생하며

 

그 크기는

 

$$\tau _{max} = \frac{\sigma _{1}}{2} = \frac{pr}{2t}$$

 

입니다.

 

안쪽 표면에서의 응력

 

안쪽 표면에서의 응력 상태는 다음과 같습니다.

 

$$\sigma _{1} = \frac{pr}{t}$$

$$\sigma _{2} = \frac{pr}{2t}$$

$$\sigma _{3} = -p$$

 

이 경우에서도 최대 전단응력은 각 축에 대해 45˚회전된 면에서 발생하고

 

각각 계산하면 아래와 같습니다.

 

$$\tau _{x, max} = \frac{\sigma _{1} - sigma _{3}}{2} = \frac{pr}{2t} + \frac{p}{2}$$

$$\tau _{y, max} = \frac{\sigma _{2} - sigma _{3}}{2} = \frac{pr}{4t} + \frac{p}{2}$$

$$\tau _{z, max} = \frac{\sigma _{1} - sigma _{2}}{2} = \frac{pr}{4t}$$

 

이 중 가장 큰 것은 x축에 대하여 회전했을 때이고, 그 값은 아래와 같습니다.

 

$$\tau _{max} = \frac{pr}{2t} + \frac{p}{2}$$

 

만약 용기의 벽이 매우 얇으면 위의 $p/2$는 무시가능하므로, 다시 쓰면 아래와 같습니다.

 

$$\tau _{max} = \frac{pr}{2t}$$