이번 포스팅에서는 재료의 파손을 설명하기 위한 이론 중 하나인
전단변형에너지 이론에 쓰이는 전단변형에너지 공식을 유도해보겠습니다.
전단변형에너지 이론?
전단변형에너지 이론은 von mises 이론이라고도 불리며,
재료의 파손을 설명하기 위해 제안된 이론 중 하나입니다.
재료의 파손에 대한 내용은 추후 포스팅에서 설명드리도록 하겠으며,
본 포스팅에서는 해당 이론에 쓰이는 전단변형에너지 공식을 유도해보겠습니다!
전단변형에너지 공식 유도
전단변형에너지를 알기 위해서는
총 변형에너지와 체적변형에너지를 알아야 합니다.
전단변형에너지는 총 변형에너지에서 체적변형에너지를 뺀 값이기 때문이죠!
전단변형에너지=총변형에너지−체적변형에너지
총 변형에너지
3차원 응력 상태에서 총 변형에너지는 아래와 같습니다.
U=12σ1ϵ1+12σ2ϵ2+12σ3ϵ3
이 때, 응력과 변형률의 관계는 각각 아래와 같죠.
ϵ1=1E[σ1−ν(σ2+σ3)]
ϵ2=1E[σ2−ν(σ1+σ3)]
ϵ3=1E[σ3−ν(σ1+σ2)]
위 식을 총 변형에너지에 대입하여 정리하면 아래와 같이 총 변형에너지를 나타낼 수 있습니다.
∴U=12E[σ21+σ22+σ23−2ν(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)]
체적변형에너지
체적 변형에너지는 부피의 변형률인 체적변형률로부터 계산되며,
체적변형률 Δ는 아래와 같습니다.
Δ=(1+ϵ1)(1+ϵ2)(1+ϵ3)−1
이 때 ϵ이 매우 작다고 가정하면 Δ는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.
Δ=ϵ1+ϵ2+ϵ3
단위 체적 당 받는 응력에 의한 체적변형에너지는
아래와 같이 구할 수 있습니다.
Uv=12pΔ=12(σ1+σ2+σ33)(ϵ1+ϵ2+ϵ3)
∴Uv=16E(σ1+σ2+σ33)[σ1+σ2+σ3−2ν(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1)]
전단변형에너지
이제 우린 위에서 구한 결과를 이용하여 전단변형에너지를 구할 수 있습니다.
식 (1)에서 식 (2)를 빼면 됩니다.
식이 꽤 복잡하니 결과만 정리해서 나타내면 아래와 같습니다.
Ud=1+ν3E[(σ1−σ2)2+(σ2−σ3)2+(σ3−σ1)22]
시간이 나시면 직접 빼보셔도 되는데 꽤 많이 귀찮으니 그냥 결과만 참고하시는게.. ^^
여기까지 전단변형에너지 공식에 대해 알아보았습니다.
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