[재료역학] 전단변형에너지 공식 유도

이번 포스팅에서는 재료의 파손을 설명하기 위한 이론 중 하나인

 

전단변형에너지 이론에 쓰이는 전단변형에너지 공식을 유도해보겠습니다.

 

 전단변형에너지 이론?

전단변형에너지 이론은 von mises 이론이라고도 불리며,

 

재료의 파손을 설명하기 위해 제안된 이론 중 하나입니다.

 

재료의 파손에 대한 내용은 추후 포스팅에서 설명드리도록 하겠으며,

 

본 포스팅에서는 해당 이론에 쓰이는 전단변형에너지 공식을 유도해보겠습니다!

 

 

 전단변형에너지 공식 유도

전단변형에너지를 알기 위해서는

 

총 변형에너지와 체적변형에너지를 알아야 합니다.

 

전단변형에너지는 총 변형에너지에서 체적변형에너지를 뺀 값이기 때문이죠!

 

$$ 전단변형에너지 = 총 변형에너지 - 체적변형에너지$$

 

총 변형에너지

 

3차원 응력 상태에서 총 변형에너지는 아래와 같습니다.

 

$$U=\frac{1}{2}\sigma_1 \epsilon_1 + \frac{1}{2}\sigma_2 \epsilon_2 + \frac{1}{2}\sigma_3 \epsilon_3$$

 

이 때, 응력과 변형률의 관계는 각각 아래와 같죠.

 

$$\epsilon_1 = \frac{1}{E}[\sigma_1 -\nu(\sigma_2 +\sigma_3)]$$

$$\epsilon_2 = \frac{1}{E}[\sigma_2 -\nu(\sigma_1 +\sigma_3)]$$

$$\epsilon_3 = \frac{1}{E}[\sigma_3 -\nu(\sigma_1 +\sigma_2)]$$

 

위 식을 총 변형에너지에 대입하여 정리하면 아래와 같이 총 변형에너지를 나타낼 수 있습니다.

 

$$\therefore U=\frac{1}{2E}[\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-2\nu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)] \tag{1}$$

 

 

체적변형에너지

 

체적 변형에너지는 부피의 변형률인 체적변형률로부터 계산되며,

 

체적변형률 $\Delta$는 아래와 같습니다.

 

$$\Delta = (1+\epsilon_1)(1+\epsilon_2)(1+\epsilon_3)-1$$

 

이 때 $\epsilon$이 매우 작다고 가정하면 $\Delta$는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$$\Delta = \epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3$$

 

단위 체적 당 받는 응력에 의한 체적변형에너지는

 

아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

$$U_v = \frac{1}{2}p\Delta=\frac{1}{2}(\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3})(\epsilon_1+\epsilon_2+\epsilon_3)$$

 

$$\therefore U_v = \frac{1}{6E}(\frac{\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3}{3})[\sigma_1+\sigma_2+\sigma_3-2\nu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_3\sigma_1)] \tag{2}$$

 

 

전단변형에너지

 

이제 우린 위에서 구한 결과를 이용하여 전단변형에너지를 구할 수 있습니다.

 

식 (1)에서 식 (2)를 빼면 됩니다.

 

식이 꽤 복잡하니 결과만 정리해서 나타내면 아래와 같습니다.

 

$$U_d = \frac{1+\nu}{3E}[\frac{(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2}{2}]$$

 

시간이 나시면 직접 빼보셔도 되는데 꽤 많이 귀찮으니 그냥 결과만 참고하시는게.. ^^

 

 

여기까지 전단변형에너지 공식에 대해 알아보았습니다.