공부해서 남주자

맥놀이(Beat) 현상 맥놀이 현상이란 진동수가 비슷한 2개의 조화운동에 의해 진폭이 서서히 변화하는 진동을 말합니다. 두 조화운동을 합성할 때 진동수가 약간 다를때 일어나죠. 맥놀이 현상 예시 예를 들어봅시다. 아래 두 조화운동이 있다고 하죠 각각의 조화운동을 합성하면 아래와 같습니다. 위 식에서 보시는 바와 같이 합성된 운동은 각각 ω_1+ω_2의 진동수와 ω_1-ω_2의 진동수를 가집니다. 두 주파수는 유사하기 때문에, ω_1+ω_2는 원래 주파수의 거의 2배가 된 고주파로 작용하고, ω_1-ω_2는 거의 0에 가까운 저주파로 작용하게 됩니다. 따라서 두 주파수가 각각 저주파, 저주파로 나뉘어 운동의 진폭을 바꾸는 것이죠. 여기까지 맥놀이 현상에 대해 알아보았습니다.

이번 포스팅에서는 카스틸리아노의 정리에 대해 알아봅시다. 카스틸리아노의 정리(Castigliano's theorem) 카스틸리아노의 정리는 선형탄성계에서 변형에너지로부터 변위나 하중을 구하는 방법입니다. 제 1정리와 제 2정리 두가지가 있는데요, 카스틸리아노의 제 1정리 "어떤 탄성 구조물의 변형에너지를 변위의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 변위에 대해 편미분한 값은 하중과 같다." 고 하는 것입니다. 즉, 여기서 P=하중, U=변형에너지, δ=변위 입니다. 카스틸리아노의 제 2정리 어떤 탄성 구조물의 변형에너지를 하중의 함수로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 하중에 대해 편미분한 값은 변위와 같다."고 하는 것입니다. 즉, 이 방법을 활용하면, 변형에너지를 통해 쉽게 처짐량과 처짐각을 계산할 ..

이번 포스팅에서는 보의 처짐 공식 유도하는 법에 대해 알아봅시다. 보의 처짐 곡선 방정식 우선 처짐 공식을 유도하기위해 처짐 곡선 방정식부터 유도해봅시다. 처짐 곡선은 좌표 x에 대한 처짐량의 함수로 나타낼 수 있으며, 보의 각 지점에서 발생하는 처짐은 그 점에서의 곡률반경과 모멘트의 함수로써 아래와 같이 표현됩니다. 이 곡률에 관한 방정식과 보의 처짐 사이의 관계는 s1, s2점을 살펴보면 알 수 있는데요. s1점에서 그은 접선과 x축이 이루는 각을 θ, s2점에서 그은 접선과 x축이 이루는 각을 θ-dθ라 하면 그럼 각 s1-O-s2가 이루는 각은 dθ가 되죠. 즉, ds=ρdθ의 관계가 성립합니다. 따라서 그런데 여기서 실제 보의 처짐은 small deformation이기 때문에 라 할 수 있으므로..

이번 포스팅에서는 지난번 단면 1차모멘트에 이어 관성모멘트 및 극관성모멘트가 무엇인지에 대해 알아봅시다. 단면 1차 모멘트에 대해 궁금하신 분들은 아래 글을 참고하세요! [재료역학] 단면 1차 모멘트(First moment of area)와 도심(Centroid) 이번 포스팅에선 단면 1차모멘트와 도심에 대해 알아봅시다. 단면 1차모멘트와 도심 아래와 같은 그림에서 단면 1차모멘트에 대해 알아봅시다. 단면 1차모멘트는 축으로부터 도심점까지의 거 study2give.tistory.com 관성모멘트(Moment of inertia) 관성모멘트는 부재의 단면 모양에 의해 결정되는데, 단면의 성질에 따라 휨이나 처짐에 대한 저항을 말해줍니다. 단면 2차 모멘트라고도 합니다. 그렇기 때문에 각 축 방향에 따라 관..

이번 포스팅에선 단면 1차모멘트와 도심에 대해 알아봅시다. 단면 1차모멘트와 도심 아래와 같은 그림에서 단면 1차모멘트에 대해 알아봅시다. 단면 1차모멘트는 축으로부터 도심점까지의 거리에 면적을 곱한것인데요. 영어로는 First moment of area라고 합니다. 주로 도심을 구하고자 할 때 자주 계산합니다. 도심은 Centroid이죠. 단면 1차 모멘트는 각 축에 대해 존재하며, 구하는 방법은 아래와 같습니다. 여기서 x ̅, y ̅는 각 축방향의 무게중심입니다. 이 식에 의하면 축이 도심을 지날 때 단면 1차모멘트는 0이 됩니다. 그리고 이 식을 정리하면 단면 1차모멘트를 통해 아래처럼 무게중심을 계산할 수 있습니다. 여기서 A는 전체 면적입니다. 다양한 도형 형태에서의 도심 아래에 여러 도형에 ..

이번 포스팅에서는 조합된 단면의 응력과 변형량에 대해 알아보겠습니다. 직렬조합단면 직렬조합단면에서의 응력과 변형량은 어떻게 계산되는지 알아봅시다. 응력 우선 각 재료에 작용하는 응력은 아래와 같이 계산됩니다. 간단하죠? 여기서 우리는 아래와 같은 결과도 얻을 수 있습니다. 변형량 각 부재의 변형량 λ는 아래와 같이 계산됩니다. 직렬조합단면이기 때문에 총 변형량은 각 부재의 변형량을 더해주기만 하면 됩니다. 병렬조합단면 직렬조합단면을 알아보았으니, 병렬조합단면에 대해서도 알아봅시다. 변형량 병렬조합단면에서는 각 부재에서의 변형량이 같습니다. 즉, 하중과 길이가 같으므로 약분하여 나타내면 아래와 같은 관계도 확인할 수 있습니다. 응력 응력 hooke's law에 의해 변형률과 young's modulus의 ..

이번 포스팅에서는 룽게-쿠타법에 대해 알아보도록 합시다. (부르기에 따라 런지-쿠타, 룽게-쿠타 등 여러 발음으로 불리기도 하나, 본 포스팅에서는 룽게-쿠타로 표기하겠습니다.)  룽게-쿠타법 (Runge-Kutta method)룽게-쿠타법은 많은 수치적분법 중 한가지 방법입니다. 독일의 수학자 카를 다비트 톨메 룽게와 마르틴 빌헬름 쿠타가 개발하였고 흔히 4차항까지 구하여 사용하는 방법을 많이 쓰며, 이 방법은 RK4라고도 불립니다. 수치적분법 중 가장 흔히 사용되는 방법입니다. 식으로는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.  $$y_{i+1}=y_i+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)h$$  여기서 k는 아래와 같습니다. $k_1=f(t_i, y_i)$ $k_2=f(t_i+\frac{1}{..

이번 포스팅에서는 Newton-Raphson법에 대해 알아보도록 합시다. 뉴턴-랩슨(Newton-Raphson)법 개요 뉴턴-랩슨법이란 미분가능한 함수 f(x)의 해를 수치적으로 접근하여 근사해(solution)을 구할 수 있게 해주는 방법입니다. 이와 같이 수치해석을 통해 근사해를 구하는 이유 중 가장 큰 이유는 컴퓨터를 이용하여 연산하기 위해서일 것입니다. 컴퓨터는 exact solution을 구하지 못하니까요! 해를 구하는 과정 및 공식 뉴턴 랩슨법을 그림으로 간략하게 설명드리죠! 여기서 하는 일련의 행위는 궁극적으로 exact solution (c,0)에 가장 가까운 근사해(solution)를 찾기 위함입니다. 우선 해를 구하려는 함수 f(x)에 대하여 그에 대한 미분 f'(x)를 알 수 있어야 ..

이번 포스팅에서는 차수축소법(Reduction of order)에 대해 알아봅시다. 차수축소법(Reduction of order) 미분방정식은 차수에 따라 차수만큼의 기저(basis)를 갖습니다. 만약 2차 미분방정식이라면 basis는 2개가 되겠죠. 그런데 특성방정식을 풀어 중근이 나오는 경우, 우리는 basis를 하나밖에 알지 못합니다. 나머지 하나를 알아야만 하는 상황인데요. 그런데 하나의 basis를 이미 알고 있는 경우, 나머지 하나를 알 수 있는 방법이 있습니다. 바로 차수축소법(Reduction of order)이라는 방법입니다. 이 방법은 y1만 알고 있을 때, y2를 y2=u(x)y1 이라 가정하고 원래의 ODE에 대입해서 u(x)를 구하는 방법입니다. 차수축소법(Reduction of ..

지난번 포스팅에 이어서 제차해를 구하는 방법 두번째! 미분방정식의 계수가 상수가 아닌 경우에 대해 알아봅시다. 계수가 상수인 경우는 아래 포스팅을 참고하세요! [정보]상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 제차해(Homogeneous solution) - (1) 이번 포스팅에서는 상미분방정식의 해 중 제차해(homogeneous solution)에 대해 설명드리겠습니다. 제차해(homogeneous solution) Homogeneous solution은 상미분방정식의 우변이 0일 때의 해를 구한 것입니다... study2give.tistory.com 푸는 방법 - 계수가 상수가 아닌 경우 이번에 소개해드릴 미분방정식의 형태는 미분항에 독립변수가 곱해져있는 형태입니다. 이..