[공업수학] 차수축소법(Reduction of order)

이번 포스팅에서는 차수축소법(Reduction of order)에 대해 알아봅시다.

 

 차수축소법(Reduction of order)

미분방정식은 차수에 따라 차수만큼의 기저(basis)를 갖습니다.

 

만약 2차 미분방정식이라면 basis는 2개가 되겠죠.

 

그런데 특성방정식을 풀어 중근이 나오는 경우, 우리는 basis를 하나밖에 알지 못합니다.

 

나머지 하나를 알아야만 하는 상황인데요.

 

그런데 하나의 basis를 이미 알고 있는 경우, 나머지 하나를 알 수 있는 방법이 있습니다.

 

바로 차수축소법(Reduction of order)이라는 방법입니다.

 

이 방법은 y1만 알고 있을 때, y2를 y2=u(x)y1 이라 가정하고

 

원래의 ODE에 대입해서 u(x)를 구하는 방법입니다. 

 차수축소법(Reduction of order) 예제

간단한 예제를 통해 바로 알아봅시다.

 

위 방정식을 한번 풀어보죠.

 

가정했던 해를 대입하여 정리하면 아래와 같습니다.

 

n=1의 중근을 가집니다.

 

 

두개의 basis를 가질테니 하나 더 찾아야겠죠?

 

여기서 차수축소법(Reduction of order)을 사용합니다. 바로 해보죠.

 

나머지 해를 y2로 가정하고 진행해보겠습니다.

 

여기서 해줄 일은 미분방정식에 대입하기 위한 y2의 미분을 구하는 것입니다.

 

 

이렇게 미분값을 구했으니 원래의 미분방정식에 대입해봅시다.

 

아래 형태로 정리됩니다.

여기서 u의 미분항을 U로 치환합니다. 즉,

 

 

이를 대입하여 정리하면 아래와 같은 결과가 도출됩니다.

 

따라서 미분방정식의 해는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

여기까지 차수축소법이 무엇인지 예제를 통해 알아보았습니다.