[공업수학] Taylor's series(테일러 급수)

이번 포스팅에서는 테일러 급수에 대해 알아봅시다.

 

 Taylor's series(테일러 급수)의 정의

테일러 급수란,

 

원래의 함수를 도함수들의 한 점에서의 값으로 계산된 항의 무한합으로 나타내는 방법입니다.

 

그러한 성질을 가지고 있기 때문에 수치적분에서 많이 쓰이기도 합니다.

 

정의는 이러합니다.

 

함수 $f: R → R$이고, 임의의 실수 $a ∈ R$ 일 때,

 

테일러 급수는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2+\frac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^3+...$

 

 

 Taylor's series 유도

테일러 급수가 어떻게 나오는지에 대한 과정을 유도해보겠습니다.

 

미적분학의 기본정리로부터

 

$\int_a^xf'(t)dt=f(x)-f(a)$

 

여기서 위 식을 살짝 변형하겠습니다.

 

$\int_a^xf'(t)dt=\int_a^x(-1)(-f'(t))dt$

 

위 식의 우변을 부분적분 해보겠습니다. 만약 계속 미분가능하다면 아래의 형태가 됩니다.

 

$\int_a^x(-1)(-f'(t))dt=[-(x-t)f'(t)-\frac{(x-t)^2}{2!}f''(t)-\frac{(x-t)^3}{3!}f'''(t)-...]_a^x$

 

우변을 정리하면, $x$를 대입할 경우 모든 항이 0이 되므로 결과는 아래와 같습니다.

 

$(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+...=f(x)-f(a)$

 

우변의 $f(a)$를 이항하여 정리하면, 최종적으로 테일러 급수는 아래와 같이 유도할 수 있습니다.

 

$f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+\frac{(x-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(x-a)^3}{3!}f'''(a)+...$

 

 

여기까지 테일러 급수에 대해 간단히 알아보았습니다.