[공업수학] 라플라스 변환(Laplace transformation)

이번 포스팅에서는 라플라스 변환(Laplace transformation)에 대해 알아보겠습니다.

 

 라플라스 변환(Laplace transformation)이란?

라플라스 변환은 선형 상미분방정식(Linear ordinary differential equation)의

 

해를 구하는 방법으로 유용하게 사용됩니다.

 

제어분야에서는 주파수역 접근법에 의한 동적 시스템의 해석을 위해 필요한

 

전달함수를 구하기 위해 사용하기도 합니다.

 

이 방법은 상미분방정식을 라플라스 변환을 통해 얻은 대수 방정식에

 

간단한 대수법칙을 적용하여 복소수 $s$로 표현되는 해를 구하고,

 

그 해를 다시 역라플라스 변환하여 상미분방정식의 해를 구합니다.

 

라플라스 변환을 수행하기 위해서는 어떤 유한 실수 $\sigma$에 대하여

 

아래 조건을 만족하는 함수 $f(t)$가 존재해야만 합니다.

 

$$\int_{0}^{\infty} \mid f(t)e^{-\sigma t}\mid dt < \infty$$

 

위 조건을 만족하면 함수 $f(t)$의 라플라스 변환 $F(s)$는 아래와 같이 정의됩니다.

 

$$F(s) = L\left\{f(t)\right\} = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st}dt$$

 

여기서 복소수 $s=\sigma + j\omega$이고 $L\left\{\right\}$은 라플라스 연산자입니다.

 

 라플라스 변환 예제

아래 지수함수에 $f(t)$에 대해서 라플라스 변환을 해봅시다.

 

$$f(t) \begin{cases}=0 & t < 0\\=Ae^{-\alpha t} & t \geq 0\end{cases}$$

 

여기서 $A$와 $\alpha$는 상수라고 합시다.

 

위에서 언급한 라플라스 변환의 정의에 의해 아래와 같이 계산됩니다.

 

$$F(s) = L\left\{Ae^{-\alpha t}\right\} = \int_{0}^{\infty} Ae^{-\alpha t}e^{-st}dt$$

$$=A\int_{0}^{\infty} e^{-(s+\alpha)t}dt$$

$$=\frac{A}{s+\alpha}$$

 

 라플라스 변환에 관한 특성

라플라스 변환에는 알아두면 유용한 특성이 몇가지 있습니다.

 

1. 임의의 상수 $\alpha$와 함수 $f(t)$의 곱의 라플라스 변환은

    $f(t)$의 라플라스 변환인 $F(s)$에 상수 $\alpha$를 곱한 것과 같습니다. 즉,

 

$$L\left\{\alpha f(t)\right\} = \alpha F(s)$$

 

2. 서로 다른 함수 $f_{1}(t)$, $f_{2}(t)$의 합 or 차의 라플라스 변환은

    각 함수의 라플라스 변환의 합 or 차와 같습니다. 즉,

 

$$L\left\{f_{1}(t)\pm f_{2}(t)\right\} = F_{1}(s) \pm F_{2}(s)$$

 

3. 함수 $f(t)$에 대한 1차 도함수의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.

 

$$L\left\{\frac{d}{dt}f(t)\right\} = sF(s)-f(0)$$

 

4. 함수 $f(t)$에 대한 1차 적분의 라플라스 변환은 아래와 같습니다.

 

$$L\left\{\int_{0}^{t}f(t)dt\right\} = \frac{F(s)}{s}+\frac{1}{s}[\int f(t)dt]_{t=0+}$$

 

5. $f(t)$에 $e^{\pm at}$를 곱한 함수의 라플라스 변환은 $F(s)$에서 $s$를 $s\mp a$로 치환한 것과 같습니다.

 

$$L\left\{e^{\pm at}f(t)\right\} = F(s\mp a)$$

 

6. 시간 $T$만큼 지연된 함수 $f(t-T)$의 라플라스 변환은 $F(s)$에 $e^{-Ts}$를 곱한 것과 같습니다.

 

$$L\left\{f(t-T)\right\} = e^{-Ts}F(s)$$

 

7. $f(t)$의 라플라스 변환을 $F(s)$라 할 때, $f(t)$의 초기 값은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

$$\lim_{t \rightarrow 0} f(t) = \lim_{s \rightarrow \infty} sF(s)

 

이를 초기값 정리라고 하며, 라플라스 변환의 성질 중 매우 중요한 성질입니다.

 

8. $f(t)$의 라플라스 변환을 $F(s)$라 할 때, $f(t)$의 최종 값은 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

$$\lim_{t \rightarrow \infty} f(t) = \lim_{s \rightarrow 0} sF(s)

 

이는 최종값 정리라고 하며, 초기값 정리와 더불어 매우 중요한 성질입니다.

 

서로 반대의 극한이라고 생각하시면 되겠네요.

 

 라플라스 변환표

라플라스 변환이 매우 유용한 방법임은 사실이나,

 

구할 때 마다 매번 적분하기엔 번거로운 것 또한 사실입니다.

 

그래서 일반적으로 변환표를 두고서 많이 이용하는데요.

 

아래와 같이 정리하였으니 유용하게 사용하시면 되겠습니다.

 

라플라스 변환표

 

여기까지 라플라스 변환에 대하여 알아보았습니다.

 

※ 위 내용은 시스템 모델링 및 제어(김종식 지음)를 참고하였습니다.