[공업수학]상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 제차해(Homogeneous solution) - (1)

이번 포스팅에서는 상미분방정식의 해 중

 

제차해(homogeneous solution)에 대해 설명드리겠습니다.

 

 제차해(homogeneous solution)

Homogeneous solution은 상미분방정식의 우변이 0일 때의 해를 구한 것입니다.

운동방정식을 예로 들면 F(t)가 0, 즉 외력이 없는 상태를 말합니다.

 

제차해를 구하는 방법에는 크게 두가지가 있습니다.

 

1) 계수가 상수인 경우

2) 그렇지 않은 경우

 

이번 포스팅에서는 상수인 경우에 대해 먼저 다루고,

 

그렇게 않은 경우에 대해서는 다른 포스팅에서 다뤄보겠습니다.

 푸는 방법 - 계수가 상수인 경우

일반적인 운동방정식과 같이 계수가 상수인 경우 해를 아래와 같이 가정하여 풉니다.

하지만 이 과정에서 λ로 정리된 2차방정식이

 

1) 두 실근을 가질 때,

2) 중근을 가질 때,

3) 두 허근을 가질 때

 

각각 풀이법이 다른데요.

 

예를 들어볼까요?

 

1) 두 실근을 가질 때

위 미분방정식의 homogeneous solution을 구해봅시다.

 

해를 exponential 함수로 가정하고 대입하여 정리하면 아래와 같이 됩니다.

 

즉,

구한 결과에 따라 제차해를 정리하면 아래와 같습니다.

해의 두 계수는 미분방정식 문제의 초기값이 주어지면 정할 수 있습니다.

 

2) 중근을 가질 때

이 경우 가정한 해를 대입하여 정리하면 

λ=1이라는 중근을 가지게 됩니다.

 

이럴 때는 어떻게 하느냐!

 

x 하나만 더 붙여주면 됩니다. 즉 이 미분방정식의 homogeneous solution은

이와 같이 나타내면 됩니다. 마찬가지로 계수는 초기값에 의해 정해집니다.

 

자세히는 차수축소법이라고 하는데요!

 

차수축소법에 대해서는 아래 포스팅을 참고하시기 바랍니다.

 

[공업수학] 차수축소법(Reduction of order)

 

3) 두 허근을 가질 때

 

위 미분방정식을 위에서 했던 것 그대로 해를 대입해서 정리해봅시다.

 

근의 공식을 사용하여 두 해를 구하면 아래와 같이 구할 수 있습니다.

허수가 나왔네요.

 

하지만 걱정할 것 없습니다. 우리에겐 오일러 공식이 있으니까요!

 

오일러 공식은 아래와 같습니다.

자 그럼 위에서 구한 해를 대입해볼까요?

위 식을 오일러 공식을 이용해 정리해봅시다.

따라서 제차해는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

필요에 따라 실수항, 허수항 따로 묶어줄 수도 있지만...

 

이쯤 해도 풀이방법은 알 수 있기에 여기까지만 진행하도록 하겠습니다.