[공업수학] 상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 제차해(Homogeneous solution) - (2)

지난번 포스팅에 이어서 제차해를 구하는 방법 두번째!

 

미분방정식의 계수가 상수가 아닌 경우에 대해 알아봅시다.

 

계수가 상수인 경우는 아래 포스팅을 참고하세요!

[정보]상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 제차해(Homogeneous solution) - (1)

 

 

 푸는 방법 - 계수가 상수가 아닌 경우

이번에 소개해드릴 미분방정식의 형태는 미분항에 독립변수가 곱해져있는 형태입니다.

 

이 미분방정식을 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)이라고 합니다.

 

이 때엔 미분방정식의 근을 아래와 같이 가정하여 풀 수 있습니다.

 

위 가정한 해를 미분하여 나타내면 도함수는 아래와 같습니다.

 

이것을 원래의 미분방정식에 대입하면 아래와 같이 정리할 수 있습니다.

 

n에 대한 2차방정식이 되었습니다.

 

2차방정식의 판별식을 통해 n을 구하면 되겠죠?

 

미분방정식의 계수가 상수일 때와 마찬가지로,

 

1) 두 실근을 가질 때

2) 중근을 가질 때

3) 두 허근을 가질 때

 

3가지 경우로 나뉘는데, 푸는 방법은  아래와 같습니다.

 

1) 두 실근을 가질 때

 

이 경우 가정했던 해를 대입하여 정리하면 아래의 특성방정식이 나옵니다.

 

n=2, n=3의 해를 쉽게 구할 수 있죠.

 

따라서 이 미분방정식의 해는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

2) 중근을 가질 때

 

위 방정식을 한번 풀어보죠.

 

가정했던 해를 대입하여 정리하면 아래와 같습니다.

 

n=1의 중근을 가집니다.

 

 

두개의 해를 가질테니 하나 더 찾아야겠죠?

 

이 경우 차수축소법(Reduction of order)로 해결합니다. 바로 해보죠.

 

나머지 해를 y2로 가정하고 진행해보겠습니다.

 

여기서 해줄 일은 미분방정식에 대입하기 위한 y2의 미분을 구하는 것입니다.

 

 

이렇게 미분값을 구했으니 원래의 미분방정식에 대입해봅시다.

 

아래 형태로 정리됩니다.

여기서 u의 미분항을 U로 치환합니다. 즉,

 

 

이를 대입하여 정리하면 아래와 같은 결과가 도출됩니다.

 

따라서 미분방정식의 해는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

3) 두 허근을 가질 때

 

동일하게 해를 대입하여 특성방정식을 구하면

 

 

n=1+i, 1-i의 결과를 얻을 수 있습니다.

 

그럼 해는 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

오일러 공식을 이용해 정리해봅시다.

 

최종적으로 해를 나타내면 아래와 같은 형태로 나타낼 수 있겠네요.

 

구하는 방법은 알았으니 정리는 각자에게 맡기는 것으로... ^^

 

 

 

이렇게 오일러-코시 방정식이라고 불리는 미분방정식의 제차해를 구할 수 있습니다.