[선형대수학] Curve fitting

이번 포스팅에서는 선형대수방정식을 통해

 

curve fitting 하는 방법에 대해 알아보겠습니다.

 

 임의의 점을 지나는 함수를 구할 때 - curve fitting

많은 경우에 우리는 특정 점을 지나는 함수를 구하고 싶은 경우가 있습니다.

 

그리고 이런 경우 대부분 함수를 다항함수(Polynomial)로 가정하여 구합니다.

 

예를 들어

 

$$(x_{1},y_{1}), (x_{2}, y_{2}), ... , (x_{n}, y_{n})$$

 

위와 같은 n개의 점을 지나는 다항함수를 구할 때

 

미지수가 n개이므로 n-1차 다항함수로 fitting할 수 있습니다.

 

아래와 같이 다항함수의 경우 y절편까지가 미지수이기 때문이죠.

 

$$y = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ... + a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-1}x^{n-1}$$

 

미지수가 3개인 2차함수의 경우 ffiting하면 아래와 같은 모습일겁니다.

2차함수 curve fitting

 Curve fitting 하는 방법 및 예제

선형대수방정식을 통해 curve fitting을 손쉽게 할 수 있습니다.

 

이 때 gauss elimination이 필요한데, 이 부분은 아래 포스트에 설명되어있으니

 

필요하시면 참고하시면 좋을 것 같습니다.

[수치해석] Gaussian elimination(가우스 소거법)

 

예제를 통해 바로 알아보죠.

 

아래 세 점을 지나는 2차 함수를 fitting해봅시다.

 

$$(1,6), (2,3), (3,2)$$

 

그럼 2차함수는 아래와 같이 가정할 수 있습니다.

 

$$y=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}$$

 

가정한 2차함수에 위 3점을 넣어 대수방정식을 구성해봅시다.

 

$$a_{0}+a_{1}+a_{2} = 6$$

$$a_{0}+2a_{1}+4a_{2} = 3$$

$$a_{0}+3a_{1}+9a_{2} = 2$$

 

이는 아래와 같이 나타낼 수 있죠.

 

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & : & 6 \\1 & 2 & 4 & : & 3 \\ 1 & 3 & 9 & : & 2 \end{bmatrix}$$

 

이제 gauss elimination을 해봅시다.

 

첫번째 행에 -1을 곱하여 두번째, 세번째 행에 더해주면 아래와 같습니다.

 

$$\begin{bmatrix}1 & 1 & 1 & : & 6 \\0 & 1 & 3 & : & -3 \\ 0 & 2 & 8 & : & -4 \end{bmatrix}$$

 

이번엔 두번째 행에 -1을 곱하여 첫번째, 세번째 행에 더해줍시다.

 

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & : & 9 \\0 & 1 & 3 & : & -3 \\ 0 & 0 & 2 & : & 2 \end{bmatrix}$$

 

세번째 행을 2로 나누면

 

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & : & 9 \\0 & 1 & 3 & : & -3 \\ 0 & 0 & 1 & : & 1 \end{bmatrix}$$

 

마지막으로 세번째 행에 2를 곱하여 첫번째 행에 더하고, -3을 곱하여 두번째 행에 더합니다.

 

$$\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & : & 11 \\0 & 1 & 0 & : & -6 \\ 0 & 0 & 1 & : & 1 \end{bmatrix}$$

 

따라서 $a_{0} = 11, a_{1} = -6, a_{2} = 1$ 이므로

 

세 점 $(1,6), (2,3), (3,2)$를 지나는 2차함수는 아래와 같습니다.

 

$$y=11-6x+x^{2}$$

 

 

 

여기까지 선형대수방정식을 통한 curve fitting법에 대해 알아보았습니다.