[선형대수학] 행렬식(Determinant)

이번 포스팅에서는 행렬의 determinant에 대해 다뤄보겠습니다.

 

 행렬식(Determinant)

행렬식이란, 어느 정사각행렬 $A$에 스칼라를 대응시키는 함수를 말하며,

 

본 행렬을 이용해 선형변환을 했을 때 그 크기의 배수를 말합니다.

 

구하는 방법은 여러가지가 있습니다만,

 

중고등학교때 $2$ x $2$ 행렬에 대하여 각 원소가 $a, b, c, d$일 때,

 

$Det(A) = ad-bc$

 

위와 같이 구하는 방법을 배운 바 있습니다.

 

행렬의 크기가 작으면 간단히 끝날 일이지만,

 

$3$ x $3$ 이상으로 커지게 되면 일이 복잡해지는데요.

 

이런 경우엔 어떻게 구할 수 있을까요?

 

 행렬식(Determinant) 구하는 방법

행렬식의 계산을 일반화해서 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 

$Det(A) = a_{i1}Det(C_{i1}) + a_{i2}Det(C_{i2}) + ... + a_{in}Det(C_{in})$

 

여기서 $C_{ij}$는 cofactor라고 하며, 정의는 아래와 같습니다.

 

$C_{ij} = (-1)^{i+j}Det(A_{ij})$

 

 예시 (3x3 matrix)

위 방법을 사용하여 3x3 matrix의 행렬식을 구해보면 아래와 같습니다.

 

물론 3x3 이상의 크기의 행렬에 대해서도 동일한 방법으로 행렬식을 구할 수 있습니다.

 

 

여기까지 행렬식이 무엇인지, 그리고 어떻게 구하는지에 대해 알아보았습니다.