[선형대수학] 고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)

이번 포스팅에서는 고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 고유값(Eigenvalue)과 고유벡터(Eigenvector)

먼저 수학적으로 고유값과 고유벡터가 어떤 의미를 가지는지를 알아야합니다.

 

고유벡터는, 행렬 A를 선형변환 matrix라고 봤을 때,

 

변환 A에 의한 결과가 자기 자신의 상수배가 되는 0이 아닌 벡터를 말합니다.

 

이 때, 그 상수배의 값을 고유값이라고 합니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다.

물론 Eigenvector는 크기가 정해진 vector는 아닙니다만, 일반적으로 1로 나타냅니다.

 

식으로 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 

이 때, v는 고유벡터이고 λ는 고유값입니다.

 

식을 좌변으로 정리하여 나타내면 아래와 같이 나타낼 수 있는데요.

 

이 때, 고유벡터 v는 0이 아닌 벡터이기 때문에 위 식에서 고유벡터 v가

 

nontrivial solution(0이 아닌)을 가지기 위해서는 (A-λE)가 역행렬을 가지지 않아야 합니다.

 

즉,

 

 

위 식을 통해 행렬 A로부터 고유값 λ과 고유벡터 v를 확정할 수 있습니다.

 

 고유값, 고유벡터를 이용한 행렬의 대각화

만약 위 식에서 구한 행렬 A의 고유값, 고유벡터들을 각각 λ_i, v_i 라 한다면

와 같이 나타낼 수 있습니다. 

 

고유벡터를 열벡터로 하는 고유벡터 행렬을 P라 하고, 위 식을 정리하면

즉,

의 형태로 나타낼 수 있습니다. 이 때, Λ는 고유값으로 이루어진 대각행렬입니다.

 

여기서 우리는 아래와 같이 행렬 A를 손쉽게 고유값의 대각행렬로 나타낼 수 있습니다.

 

왜 행렬을 대각화하여 나타내느냐!

 

이렇게 행렬을 대각화하게되면 행렬의 determinant, 거듭제곱, trace 등 다양한 값을

 

손쉽게 계산할 수 있습니다.

 

 대각화된 행렬을 이용한 행렬의 연산 예제

먼저 determinant부터 구해보도록 하죠.

 

위와 같이 행렬의 determinant 구하는 공식을 모르더라도, 고유값만 알고 있으면

 

간단히 구할 수 있습니다.

 

그렇다면 행렬의 대각성분 곱인 trace는 어떨까요?

 

간단하게 고유값의 합으로 나타낼 수 있습니다.

 

마지막으로 행렬의 거듭제곱도 한번 구해보도록 하겠습니다.

 

고유값 행렬의 거듭제곱 형태로 나타낼 수 있음을 확인할 수 있습니다.

 

 

여기까지 고유값과 고유벡터, 그리고 그 성질을 이용한 간단한 연산예제를 소개해드렸습니다.