[선형대수학] 역행렬(Inverse matrix)

이번 포스팅에서는 역행렬에 대해 다뤄보겠습니다.

 

 역행렬(Inverse matrix)이란?

$n$ x $n$행렬 $A$에 대하여,

 

곱하여 단위행렬이 나오게하는 행렬을 행렬 $A$의 역행렬이라 하며,

 

식으로 나타내면 아래와 같습니다.

 

$A$ x $B$ = $B$ x $A$ = $I$

 

여기서 $B$가 행렬 $A$의 역행렬입니다.

 

 역행렬(Inverse matrix)을 구하는 방법

1. 가우스 - 조단 소거법(Gauss-jordan elimination method)

 

가우스 - 조단 소거법은

 

1) 역행렬을 구하고자 하는 행렬 $A$을 왼쪽

 

2) 단위행렬 $I$를 오른쪽에 두고

 

3) 각 행의 실수곱을 통해 왼쪽 행렬을 단위행렬로 만들면

 

4) 오른쪽에 역행렬 $B$가 나타납니다.

 

예를 들어 아래 $2$ x $2$ 행렬의 역행렬을 구해봅시다.

 

왼쪽의 행렬을 단위행렬로 만들어 봅시다.

 

먼저 1행에 -(c/a)를 곱하고 2행에 더합니다.

 

그 다음 1행을 a로 나누고, 2행을 d-(bc/a)로 나눕니다.

 

그 다음 2행에 -(b/a)를 곱하여 1행에 더해줍니다.

 

왼쪽 행렬이 단위행렬이 되었으므로

 

오른쪽에 나타난 행렬이 행렬 $A$의 역행렬이며,

 

이는 우리가 흔히 봐오던 역행렬을 구하는 공식과 일치합니다. 즉,

 

이 방법은 $2$ x $2$ 행렬 뿐만 아니라, $n$ x $n$ 크기의 행렬에도 동일하게 적용될 수 있습니다.

 

2. Adjoint 행렬을 이용한 방법

 

행렬 $A$의 Adjoint 행렬을 $adj(A)$라 할 때,

 

그 행렬식 $Det(A)$을 이용하여 역행렬을 아래와 같이 구할 수 있습니다.

 

$A^{-1} = \frac{1}{Det(A)} adj(A)$

 

이 때, $adj(A)$의 각 요소 $C_{ij}$는 행렬 $A$에서 $i$행 $j$열을 제외한

 

(n-1) x (n-1)크기의 소행렬 $M_{ij}$의 cofactor로 이루어진 행렬이며, 아래와 같습니다. 즉,

 

 

$C_{ij} = (-1)^{i+j} Det(M_{ij})$

 

여기서 이 방법을 사용하기 위해서는 행렬식(Determinant)을 구할 수 있어야 하는데요.

 

행렬식을 구하는 방법에 대해서는 아래 포스팅에 나타내었으니 참고하시기 바랍니다.

 

[선형대수학] 행렬식(Determinant)