[제어공학] 제어시스템의 안정도

이번 포스팅에서는 제어시스템의 안정도에 대해 알아보겠습니다.

 

 안정도 조사법

'시스템이 안정하다'라는 말은, 시스템이 한정된 응답을 가질 때를 말합니다.

 

즉, 한정된 입력이 가해졌을 때 그 응답의 크기가 한정되는 상황을 말합니다.

 

선형시스템의 경우 시스템의 특성방정식의 근을 조사하여

 

시스템이 안정한지 불안정한지를 판단할 수 있습니다.

 

 특성방정식을 이용한 안정도 판별법

 

아래와 같은 전달함수 $G(s)$에 대하여 생각해봅시다.

 

$$G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{K(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)}$$

 

위 전달함수의 특성방정식의 근 $p_i$ $(i=1,2,...,n)$이 시스템의 안정도를 결정합니다.

 

위 시스템에 단위스텝입력을 가했을 때 출력 $y(s)$를 생각해보면

 

$$y(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = \frac{K(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{s(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)} \tag{1}$$

 

출력에 관한 식을 부분분수로 전개하면 아래와 같습니다.

 

$$y(s) = \frac{c_0}{s} + \frac{c_1}{s-p_1}+ \frac{c_2}{s-p_2} + ... + \frac{c_n}{s-p_n} \tag{2}$$

 

위 식을 역라플라스변환하면 출력 $y(t)$는 아래와 같습니다.

 

$$y(t) = [c_0+c_1 e^{p_1 t}+c_2 e^{p_2 t} + ... + c_n e^{p_n t}] u_s (t) \tag{3}$$

 

식 (3)에서  exponential의 지수인 특성방정식의 근 $p_i$가 음수이면 $c_0$를 제외한

 

모든 항은 시간이 지남에 따라 0에 수렴하므로 정상상태응답은 $c_0$입니다.

 

반대로 특성방정식의 근 $p_i$가 양수이면 출력 $y(t)$는 발산하게 됩니다.

 

따라서, 극점의 실수부가 어느 하나라도 양의 값을 가지게 된다면,

 

출력응답은 발산하게 되어 시스템은 불안정하게 됩니다.

 

그리고 0인 극점을 가지게 되면 출력응답은 지속진동을 하게되는데,

 

이러한 상태를 안정한계(marginally stable)에 있다고 합니다.

 

결론적으로, 시스템이 안정하기 위해서는 특성방정식의 근인 시스템의 극점의

 

실수부가 모두 0보다 작거나 같아야 합니다. 즉,

 

$$Re(p_i)\leq 0, i=1,2,...n$$

 

 

 Routh 안정도 판별법

Routh 안정도 판별법은 위에서와 같이 특성방정식의 근을 모두 구하진 않고,

 

양의 실수부를 갖는 근의 존재유무만을 판별하여 시스템의 안정도를 판별합니다.

 

우선, Routh 안정도 판별법은 시스템이 안정하기 위한 필요조건인

 

특성방정식의 모든 계수가 같은 부호인지를 조사합니다.

 

만약 부호가 다르다면, 극점이 복소 $s$-평면의 우측에 존재하게되어

 

시스템이 불안정하게 됩니다.

 

Routh 안정도 판별법은 아래와 같이 수행합니다.

 

1. 특성방정식의 계수를 아래와 같이 1,2행에 나열합니다.

2. 특성방정식의 계수를 이용하여 아래의 계수들을 계산하여 3행에 나열합니다.

3. 2행과 3행으로부터 아래의 계수들을 다시 계산하여 4행에 나열합니다.

   이를 반복하여 n+1행까지 계산하여 Routh 배열을 만듭니다.

 

→

4. Routh 배열의 첫번째 열에서 모든 계수가 같은 부호이면 시스템은 안정합니다.

 

 

예제를 통해 알아보죠. 아래와 같은 특성방정식이 있습니다.

 

$$s^4+2s^3+3s^2+8s+2=0$$

 

위 특성방정식의 Routh 배열은 아래와 같습니다.

 

위 Routh 배열의 첫번째 열에서 부호의 변화가 두번(2 -> -1 -> 12) 있으므로,

 

이 시스템은 두개의 양의 실수부를 갖게 되어 불안정한 성능을 가집니다.

 

 

 

여기까지 시스템의 안정도 판별법에 대해 알아보았습니다.