[제어공학] 시스템의 정상상태응답(steady-state response)

본 포스팅에서는 시스템의 정상상태응답에 대해 알아보겠습니다.

 

 정상상태응답(steady-state response)이란?

정상상태응답이란 시스템이 안정되어 그 응답이 일정한 값을 유지하는 상태의 응답을 말합니다.

 

앞서 과도응답상태에 대해 다룬 포스팅에서 정착시간 $t_s$ 이후의 응답을 의미합니다.

 

 

 정상상태응답 해석

정상상태응답을 해석하기 위해서는 우선 기준입력에 대한 오차를 고려해야 합니다.

 

오차를 구할 수 있다면 기준입력으로부터 정상상태응답 또한 계산할 수 있죠.

 

또한 정상상태에서 오차가 크면 시스템의 성능이 만족스럽다고 할 수 없기 때문에

 

정상상태오차를 분석하는 것이 필요합니다.

 

아래와 같은 폐루프 시스템에 대하여 정상상태오차를 계산해봅시다.

전달함수 $G(s)$인 폐루프 시스템

위 폐루프 시스템의 오차신호 $e(s)$는 아래와 같이 계산됩니다.

 

$$e(s) = r(s)-y(s) = \frac{1}{1+G(s)}r(s)$$

 

그리고 이 값은 라플라스변환을 다룬 포스팅에서 설명했듯이 최종값 정리에 의해

[공업수학] 라플라스 변환(Laplace transformation)

아래와 같이 계산할 수 있습니다.

 

$$e_{ss} = \lim_{t \rightarrow \infty}e(t) = \lim_{s \rightarrow 0}se(s)=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{sr(s)}{1+G(s)}$$

 

 입력에 따른 정상상태 오차

1. 단위스텝입력

단위 스텝입력 $r(t) = 1, r(s)=1/s$에 대한 폐루프 제어시스템의 정상상태오차는 아래와 같습니다.

 

$$e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{s(1/s)}{1+G(s)}=\frac{1}{1+G(0)}$$

 

$$\therefore e_{ss} = \frac{1}{1+G(0)}$$

 

2. 단위램프입력

단위 램프입력 $r(t)=t, r(s)=1/s^2$에 대한 정상상태 오차는 아래와 같습니다.

 

$$e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{s(1/s^2)}{1+G(s)}=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{sG(s)}$$

 

$$\therefore e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{sG(s)}$$

 

3. 단위가속도입력

마지막으로 단위 가속도입력 $r(t)=t^2/2, r(S)=1/s^3$에 대한 정상상태 오차는 아래와 같이 계산됩니다.

 

$$e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{s(1/s^3)}{1+G(s)}=\lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{s^2G(s)}$$

 

$$\therefore e_{ss} = \lim_{s \rightarrow 0}\frac{1}{s^2G(s)}$$

 

 

 

여기까지 정상상태응답에 대해 알아보았습니다.

 

하다보니 오차에 대한 내용만 다루었는데, 오차를 알면

 

응답까지 계산할 수 있기 때문에 오차에 대한 분석은 매우 중요합니다.