[제어공학] 전달함수(transfer function)의 영점(zero)과 극점(pole)

이번 포스팅에서는 전달함수의 영점과 극점에 대해 알아보겠습니다.

 

 전달함수(transfer function)란?

전달함수는 선형 시불변(linear time-invariant) 시스템을

 

주파수역에서 해석할 수 있도록 시스템의 입력과 출력 사이의 동특성을

 

식으로 나타내어 만든 것입니다.

 

아래와 같이 전달함수 $G(s)$는

 

입력 $u(t)$와 출력 $y(t)$의 라플라스 변환으로 나타낼 수 있습니다.

 

$$G(s) = \frac{y(s)}{u(s)}=\frac{N(s)}{D(s)}$$

 

여기서 전달함수는 시스템의 모든 초기조건이 0이라고 가정합니다.

(입력에 의한 출력의 영향을 보기 위한 시스템이기 때문)

 영점(zero)와 극점(pole)

전달함수 $G(s)$에서 분모의 다항식 $D(s)$를 특성다항식이라 하고,

 

특성다항식을 0으로 둔 식 $D(s)=0$을 특성방정식이라고 합니다.

 

그리고 특성방정식의 해를 이 시스템의 극점(pole)이라고 합니다.

 

극점은 시스템의 성능과 안정성에 영향을 줍니다.

 

그리고 분자다항식 $N(s)$를 영점다항식이라 하고,

 

영점다항식을 0으로 둔 식$N(s)=0$을 영점방정식이라 하며,

 

영점방정식의 해를 시스템의 영점(zero)라 합니다.

 

영점은 시스템의 상대안정성과 과도응답에 영향을 줍니다.

 

시스템의 영점과 극점이 같아 서로 상쇄되지 않는다면

 

특성방정식의 최고 차수는 시스템의 차수가 되며, 시스템 내에 있는

 

독립된 에너지 저장요소($m, I$ 등)의 개수와 같습니다.

 

 

영점과 극점을 이용해 전달함수를 복소 s-평면에 표기하여 봅시다.

 

$$G(s)=\frac{s+2}{(s+1)(s+3)}$$

 

아래 전달함수가 영점과 극점을 각각 가질 때, 이를 복소 s평면에 표기하면 아래와 같습니다.

 

전달함수 $G(s)$의 복소 s-평면 표기

복소 s-평면에서 영점은 o로 표기하고, 극점은 x로 표기합니다.

 

따라서 위 시스템의 극점은 $s=-1, s=-3$이며, 영점은 $s=-2$ 입니다.

 

영점과 극점의 위치에 따른 시스템 안정성에 대한 내용은 추후 다루도록 하겠습니다.