[제어공학] 시스템의 과도응답(transient response) - 2차 시스템

이번 포스팅에서는 지난 포스팅에 이어 2차 시스템의 과도응답에 대해 알아보겠습니다.

 

 2차 시스템의 전달함수 $G(s)$

다음과 같은 전달함수 $G(s)$로 표현되는 2차 시스템에 대해 생각해봅시다.

 

$$G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_n s+\omega^2}$$

 

이 때 $\zeta$는 감쇠비(damping ratio), $\omega_n$는 고유주파수(natural frequency)입니다.

 

 단위스텝입력에 대한 2차 시스템의 응답

 

여기에 단위스텝입력 $u(s) = 1/s$를 가했을 때 시스템의 출력 $y(s)$는

 

$$y(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s^2+2\zeta\omega_n s+\omega^2)}$$

 

라플라스 변환표를 활용하여 위 출력 $y(s)$를 역라플라스변환하면

[공업수학] 라플라스 변환(Laplace transformation)

 

$$y(t) = 1-\frac{e^{-\zeta \omega_n t}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin (\omega_d t+\theta) \tag{1}$$

 

이 때 $\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2}$, $\theta = \cos ^{-1}\zeta$ 입니다.

 

 

1. 최대값 시간 $t_p$

 

식 (1)을 활용하여 최대값 시간을 구할 수 있습니다.

 

최대값 시간은 위 출력함수의 기울기가 0이되는 시간 $t_p$를 구하면 되므로,

 

$$\frac{dy}{dt}_{t=t_p}=\frac{\omega_n}{\sqrt{1-\zeta^2}}e^{\zeta\omega_n t_p}\sin \omega_d t_p = 0$$

 

즉, $\sin \omega_d t_p=0$일 때 이므로 $\omega_d t_p = n\pi$일 때 해를 갖습니다. 즉,

 

$$t_p = \frac{n\pi}{\omega_d}$$

 

이 때, 최대값 시간 $t_p$는 첫 번째 오버슈트 시간이므로

 

$$\therefore t_p = \frac{pi}{\omega_d}$$

 

이 떄의 응답인 최대값 $y_p$는

 

$$y_p = 1+e^{-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}$$

 

 

2. 상승시간 $t_r$

 

식 (1)의 값이 최초로 1이 되는 시간이 상승시간 $t_r$입니다. 즉,

 

$$y(t_r) = 1-\frac{e^{-\zeta\omega_n t_r}}{\sqrt{1-\zeta^2}} \sin(\omega_d t_r + \theta) = 1$$

 

해가 존재하기 위해선 $\sin(\omega_d t_r + \theta)=0$이어야 하므로

 

$$\omega_d t_r+\theta = \pi$$

$$\therefore t_r = \frac{\pi - \theta}{\omega_d}$$

 

 

3. 정착시간 $t_s$

 

exponential의 지수를 -1로 만드는 시정수 $T=1/\zeta\omega_n$으로부터

 

정착시간을 구할 수 있습니다.

 

2차 시스템에서도 정착시간 $t_s$는 1차시스템과 유사하게

 

감쇠비 $\zeta$값에 거의 무관하게 시정수의 약 4배가 정착시간이 됩니다.

(2% 정착시간 기준)

 

$$t_s = 4T = \frac{4}{\zeta\omega_n}$$

 

4. 오버슈트, 지연시간 등

 

1차 시스템에서 구했던 방법과 같은 방법으로 쉽게 구할 수 있기 때문에

 

따로 설명하진 않겠습니다.

 

이에 대한 방법이 궁금하시다면 이전 포스팅을 참고하세요!

[제어공학] 시스템의 과도응답(transient response)

 

 

여기까지 2차시스템의 응답을 구하는 방법과

 

그를 해석하기 위한 각 용어들에 대해 알아보았습니다.