[제어공학] 시스템의 과도응답(transient response) - 1차 시스템

이번 포스팅에서는 시스템의 과도응답에 대해 알아보겠습니다.

 

 과도응답(transient response)

과도응답이란 출력이 정상상태(steady state)가 되기전까지 걸리는 시간에 나타나는 응답을 말합니다.

 

과도응답이 나타나는 중에는 일반적으로 출력신호가 파형을 그리며 변하게 되죠.

 

만약 시스템이 안정하다면 특정 입력신호에 대한 시간응답을 가지고

 

시스템의 성능을 평가할 수 있는데요.

 

일반적으로

 

- 임펄스함수(impulse function)

- 스텝함수 (step function)

- 램프함수 (ramp function)

 

등에 대한 응답을 분석함으로써 시스템의 성능을 평가합니다.

 

본 포스팅에서는 스텝함수의 입력에 대한 응답을 아래에서 좀 더 세밀히 다뤄보겠습니다.

 임펄스(impulse) 입력에 의한 시스템의 응답

아래와 같은 함수를 정의합니다.

 

$$f_\epsilon(t) = \begin{cases}1/\epsilon & 0\leq t \leq \epsilon\\0 & t>\epsilon\end{cases}$$

 

여기서 $\epsilon$이 0으로 접근할 때의 함수를 단위임펄스 함수 $\delta (t)$라 하며,

 

단위임펄스 함수는 아래와 같은 성질을 가지고 있습니다.

 

$$\int_0^\infty \delta (\tau) d\tau = 1$$

 

$$\int_0^\infty \delta (t-\tau)g(\tau)d\tau = \int_0^infty g(t-\tau)\delta(\tau)d\tau = g(t)$$

 

시스템의 입력에 대한 출력에 대해서 위와 같은 성질을 이용하여 나타낼 수 있는데요.

 

시스템의 출력 $y(s) = G(s)u(s)$이므로, 출력 $y(t)는

 

$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)u(\tau)d\tau$$

 

이 때, 입력 $u(t)$가 단위 임펄스 함수이므로,

 

$$y(t) = \int_0^t g(t-\tau)\delta(\tau)d\tau = g(t)$$

 

즉, 시스템 $G(s)$에 대한 단위 임펄스응답은 곧 $y(s)$가 됩니다.

 

 스텝입력(step function)에 의한 시스템의 응답

스텝입력에 대한 시스템의 응답은 시스템의 시간역 성능을 평가하기 위해

 

가장 많이 사용되고 있기 때문에 잘 알아둘 필요가 있습니다.

아이패드로 그려서 깔끔하지 못한 점... 양해부탁드려요 (__)

 

시간역 성능을 나타낼 때에 필요한 내용을 위 그림에 담았습니다.

 

1. 최대값시간 $t_p$

  - 시간응답이 최대값 $y_p$까지 도달하는 시간을 말합니다.

 

2. 지연시간 $t_d$

  - 정상상태응답 $y_ss$의 50%에 도달하는데 까지 걸린 시간을 말합니다.

 

3. 상승시간 $t_r$

  - underdamped system의 경우 응답이 $y_ss$의 0%에서 100%까지 도달하는 시간을 말하지만,

    overdamped system에서는 $y_ss$의 10%에서 90%까지 도달하는 시간을 말합니다.

 

4. 정착시간 $t_s$

  - 출력의 크기가 정상상태 응답 $y_ss$에 수렴하기 시작하는 값을 말합니다.

    마진을 $\delta$로 표시하였으며, 일반적으로 사용되는 값은 2%입니다.

 

5. 최대 오버슈트 $M_p$, 퍼센트 오버슈트 $P.O.$

  - 최대 오버슈트는 시간응답의 최대값 $y_p$에서 정상상태응답 $y_ss$를 뺀 값을 말합니다.

  - 최대 오버슈트를 정상상태 응답으로 나눠 백분율로 나타낸 값을 퍼센트 오버슈트라고 합니다.

$$P.O. = \frac{y_p-y_ss}{y_ss}\times 100 (%)$$

 

6. 시정수($T$, time constant)

시스템의 과도응답 성능을 나타내는 사양 중 가장 중요한 것이 시정수(time constant)입니다.

 

정의는 1차 시스템의 응답이 정상상태 응답의 63.2%에 도달하는 시간을 말합니다.

 

이게 무슨 말인지, 왜 63.2%인지도 잘 모르시겠다구요?

 

시정수를 설명하기 위하여 단순한 아래와 같은 전달함수 $G(s)$를 가지는

 

1차시스템을 예로 들어봅시다.

 

$$G(s) = \frac{1}{Ts+1} \tag{1}$$

 

위 시스템에 단위스텝입력 $u(s) = \frac{1}{s}$를 가했을때의 응답은 아래와 같습니다.

 

$$y(s) = \frac{1}{s(Ts+1)} \tag{2}$$

 

그리고 위 응답을 역라플라스 변환하여 시간역 응답을 나타내면 아래와 같습니다.

 

$$y(t) = 1-e^{-t/T} \tag{3}$$

 

식 (3)의 시간응답은 $e^{t/T}$에 의해 감소하는 경향을 나타냅니다.

 

즉 시정수 $T$에 의해 시스템이 감쇠되며 시정수 $T$값이 클수록

 

과도응답이 감쇠하는 정도는 작아집니다.

 

여기서 1차 시스템이 가지는 중요한 특징이 있습니다.

 

시간 $t=T$일 때, 출력 $y(t)$가 최종값 $y(\infty)$의 63.2%가 된다는 것입니다.

 

즉,

 

$$y(T) = 1-e^{-1} \tag{4}$$

 

또 하나의 특징은 $t=0$에서 접선의 기울기가 $1/T$가 되는 것입니다.

 

$$\frac{dy}{dt}_{t=0} = \frac{1}{T}e^{-t/T} _{t=0} = \frac{1}{T} \tag{5}$$

 

그리고 $t=2T, 3T, 4T$와 같이 시간이 지남에 따라 응답이 $y(\infty)$의

 

86.5%, 95%, 98.2%에 도달하게 됩니다. (식(4)를 통해 계산할 수 있습니다.)

 

여기서 또 하나의 중요한 사실.

 

$t\geq 4T$이면 응답이 정상상태 응답 $y_{ss}$의 98%를 넘어서므로,

 

$4T = t_s$가 됩니다.

 

매우 중요한 사실이니 암기해두면 좋습니다!!

 

 

 

시스템의 과도응답을 설명하다보니 1차시스템의 예시까지는 들었는데,

 

내용이 너무 길어졌네요. 다음 포스팅에서 2차 시스템의 예시를 알아봅시다.