[기계진동] FFT(Fast Fourier Transform)와 IFFT(Inverse Fast Fourier Transform) (with Python)

이번 포스팅에서는 파이썬을 이용하여 FFT(Fast Fourier Transform)와

 

IFFT(Inverse Fast Fourier Transform)을 해보겠습니다.

 

FFT를 하는 주된 이유는 시간대역 데이터의 주파수 특성을 파악하여 분석&활용 위함이며,

 

그렇기 때문에 공학 모든 분야에서 아주 필수적인 연산이라고 할 수 있습니다.

 

수식을 유도하며 좀 더 이론적으로 접근하길 원하시는 분은 위키백과를 참고하시기 바라며....

 

여기서는 잘 써먹는 데에 초점을 맞춰보려합니다. ^^;;;

 

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

dt = 0.01
Fs = 1/dt
t_end = 1
len_data = int(t_end/dt + 1)
t = np.arange(len_data)*dt
n = np.arange(len_data)
T = len_data/Fs
freq = n/T

sin_20Hz = np.array([])
sin_45Hz = np.array([])
fn_sin = np.array([])

for i in range(0, len_data):
    sin_20Hz = np.append(sin_20Hz, np.sin(2.0 * np.pi * 20.0 * dt * i))
    sin_45Hz = np.append(sin_45Hz, np.sin(2.0 * np.pi * 45.0 * dt * i))

fn_sin = sin_45Hz + sin_20Hz

Y_raw = np.fft.fft(fn_sin)/len_data

y = np.fft.ifft(Y_raw)*len_data

plt.figure()
plt.plot(t, fn_sin)
plt.axis([0, 1, -2, 2])
plt.grid(True)
plt.xlabel('Second [s]')
plt.ylabel('Amplitude [m]')

plt.figure()
plt.plot(t, y)
plt.axis([0, 1, -2, 2])
plt.grid(True)
plt.xlabel('Second [s]')
plt.ylabel('Amplitude [m]')

plt.figure()
plt.stem(freq, np.abs(Y_raw)*2)
plt.axis([0, 100, 0, 2])
plt.xlabel('Frequency [Hz]')
plt.ylabel('Amplitude [m]')
plt.grid(True)

plt.show()

크기는 1로 동일하며 각각 20Hz, 45Hz의 주파수를 가지는 sin함수를 이용하여

 

2종류의 주파수 성분을 가지는 함수 fn_sin를 만들었습니다.

 

그 후 numpy 라이브러리에 내장되어 있는 fft 함수를 이용하여 fn_sin을

 

주파수역으로 변환하여 실수부와 허수부를 가지는 Y_raw를 만들었습니다.

 

위에서 설명한 연산의 결과를 아래에 나타내었습니다.

 

그림1. 원래 사인 함수(위)와 FFT->IFFT한 결과(아래)

 

 

그림 1의 위 그래프는 20Hz, 45Hz 주파수 성분을 가지는 원 함수를 나타낸 것이고,

 

아래는 원 함수를 FFT -> IFFT한 결과를 나타낸 그림입니다.

 

데이터의 왜곡없이 잘 복원된 것을 확인할 수 있습니다.

 

 

그림2. 원 함수의 FFT 결과

 

그림 2는 원함수를 FFT후 주파수 별 크기로 나타낸 것입니다.

 

sampling frequency가 100Hz(sampling time의 역수)이므로 100Hz까지 값이 보이지만,

 

우리가 의미있게 분석할 수 있는 영역은 그 절반인 50Hz까지입니다(Nyquist frequency).

 

50Hz 내 영역의 결과를 살펴보면, 20Hz, 45Hz 주파수 성분의 peak는 그런대로 표현되었는데

 

아무래도 좀 거슬립니다...

 

계산하면서 유효숫자때문에 발생하는 오차 때문일까요?

 

sampling frequency를 키워보았습니다 (100Hz -> 1000Hz)

 

그림3. sampling frequency 10배 증가

 

말끔하네요 ^^;

 

원 함수의 주파수 성분에 대한 peak 가 잘 나타나고,

 

크기 또한 모두 1인 것을 확인할 수 있습니다.