[기계진동] 모드 해석(Modal analysis)이란?

이번 포스팅에서는 모드해석이 무엇인지 알아보고

 

간단한 2자유도 시스템을 이용해

 

운동방정식을 유도한 후 모드해석까지 한번 해보겠습니다.

 

 모드 해석(Modal analysis)이란?

모드 해석이란 구조물이 갖고있는 고유진동수(natural frequency)와

 

그 진동수에서 떨림의 형상(mode shape)을 파악하여

 

구조물의 공진 여부를 분석, 예측하는 해석입니다.

 

궁극적으로는 공진을 회피하기 위해 하는 해석입니다.

 

구조물에 공진이 발생하게되면 진동이 급격하게 커져서

 

그 내구성에 부정적인 영향을 미치기 때문이죠.

 

예제를 통해 실제로 어떻게 분석하는지 알아봅시다!

 모드 해석 예제 - (1) 운동방정식(Equation of motion) 유도

아래 그림 1과 같은 2 자유도 시스템이 주어졌을 때,

 

이 시스템의 운동방정식을 먼저 유도해보겠습니다.

 

그림 1. 2-DOF system

먼저 질량 m을 기준으로 하여 자유물체도를 그리면 아래와 같습니다.

그림 2. 2 DOF system 자유물체도

외력 F가 작용하고, 스프링에 의한 힘 kx가 작용하는 형태로 나타낼 수 있습니다.

 

나타낸 자유물체도를 바탕으로하여 각 질량 m_1, m_2를 기준으로

 

운동방정식을 세우면 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

 모드 해석 예제 - (2) 고유값 & 고유벡터 구하기

위에서 유도한 운동방정식을 이용해 고유값과 고유벡터를 구해보겠습니다.

 

미리 말씀드리자면,

 

여기서 나오는 고유값은 고유진동수(natural frequency)의 제곱과 같고

 

고유벡터는 그 고유진동수에서의 모드 형상(mode shape)입니다.

 

이 때, 식의 계산을 위해 각 파라미터는 아래의 값을 가진다고 합시다.

그러면 위에서 유도된 운동방정식은 아래와 같이 나타낼 수 있습니다.

위 식의 homogeneous solution x는 아래와 같이 가정할 수 있습니다.

homogeneous solution을 구하는 방법에 대해서는

 

아래 포스팅을 참고하세요!

[공업수학]상미분방정식(Ordinary Differential Equation)의 제차해(Homogeneous solution) - (1)

 

그럼 가정한 해를 운동방정식에 대입한 후 정리하여 봅시다.

위 식에서 X가 0이 아닌 해를 가지려면 앞의 matrix가 역행렬을 가지지 않아야 합니다.

 

즉, 행렬의 determinant가 0이어야 합니다.

 

위 식을 풀어 고유값 ω를 구하면 아래와 같이 두 값을 얻게 됩니다.

그리고 각 고유값을 대입하여 고유벡터도 구해봅시다.

 

여기까지 계산한 고유값과 고유벡터를 통해

 

우리는 주어진 2자유도 시스템의 고유진동수와 모드 형상을 알 수 있습니다.

 

 

 모드 해석 예제 - (3) 결과 해석

아래 그림을 볼까요?

그림 3. 2자유도 시스템의 모드 별 고유진동수 및 모드 형상

2자유도 시스템에서 우리는 고유값과 고유벡터 각 2개를 계산했었습니다.

 

자유도가 2개인 2x2 matrix를 통해 계산했으니 당연히 2개가 나오겠죠.

 

그 결과를 그림 3에 나타내었습니다.

 

일반적으로 고유진동수가 낮은 것에서부터 높은 순으로 모드의 순서를 매깁니다.

 

결과를 보는 방법은 간단합니다.

 

첫번째 모드는 3.16rad/s에서 나타나고, 각 질량이 동일한 방향으로 움직이는 모드네요

 

두번째 모드는 5.48rad/s에서 나타나고, 각 질량이 반대 방향으로 움직이는 모드입니다.

 

정말 간단하죠?

 

 

 

여기까지 모드 해석에 대해 알아보았습니다.