[수치해석] 사다리꼴 공식(trapezoidal rule)

이번 포스팅에서는 수치적분법 중 하나인 사다리꼴 공식에 대해 알아봅시다.

 

 사다리꼴 공식 정의

사다리꼴 공식은 적분이 나타내는 넓이를 사다리꼴의 형태로 나누어

 

그 넓이의 합으로 적분값을 근사하는 방법입니다.

사다리꼴 공식 개략도

위 그림과 같이 임의의 함수 $f$에 대해 적분값을 붉은색 사다리꼴 넓이의 합으로 나타내죠.

 

그렇기 때문에 경우에 따라 오차가 매우 크게 나타날 수 있습니다.

 

정의는 아래와 같습니다.

 

적분 가능한 함수 $f$에 대하여 이에 대한 적분 $F$는

 

$F = \sum_{i=0}^{N-1} \frac{(t_{i+1}-t_i)(f(t_{i+1})+f(t_i))}{2} \tag{1}$

 

이 때, N=1인 경우 식은 아래와 같습니다.

 

$F = \frac{(t_1-t_0)(f(t_1)+f(t_0))}{2} \tag{2}$

 

유도과정도 같이 나타내보려 했으나...

 

식 (2)에서 알 수 있듯이 사다리꼴 넓이 구하는 공식일 뿐이라 굳이 유도까지 하진 않겠습니다.

 

※ 참고

사다리꼴 넓이 공식 = (윗변 길이 + 아랫변 길이) x 높이 / 2

 

 

여기까지 사다리꼴 공식에 대해 알아보았습니다.